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Para resolver la integral \(\int \cos^4(x) \, dx\), podemos utilizar una técnica común que involucra identidades trigonométricas y la reducción del exponente. Vamos a proceder con los siguientes pasos:

### Paso 1: Expansión utilizando la identidad del coseno doble
Usamos la identidad:

\[
\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}
\]

Por lo tanto, \(\cos^4(x)\) se puede expresar como:

\[
\cos^4(x) = \left(\cos^2(x)\right)^2 = \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right)^2
\]

### Paso 2: Expansión del cuadrado
Expandimos el cuadrado:

\[
\cos^4(x) = \frac{(1 + \cos(2x))^2}{4} = \frac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}
\]

### Paso 3: Sustitución de \(\cos^2(2x)\) usando la identidad nuevamente
Sustituyamos \(\cos^2(2x)\) usando la misma identidad:

\[
\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}
\]

Entonces:

\[
\cos^4(x) = \frac{1 + 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}}{4}
\]

Simplificando, obtenemos:

\[
\cos^4(x) = \frac{1}{4} + \frac{\cos(2x)}{2} + \frac{\cos(4x)}{8}
\]

### Paso 4: Integración término a término
Ahora integramos cada término por separado:

1. \(\int \frac{1}{4} \, dx = \frac{1}{4}x\)
2. \(\int \frac{\cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(2x)}{2} = \frac{\sin(2x)}{4}\)
3. \(\int \frac{\cos(4x)}{8} \, dx = \frac{1}{8} \cdot \frac{\sin(4x)}{4} = \frac{\sin(4x)}{32}\)

### Paso 5: Solución final
Sumamos todas las integrales:

\[
\int \cos^4(x) \, dx = \frac{1}{4}x + \frac{\sin(2x)}{4} + \frac{\sin(4x)}{32} + C
\]

Donde \(C\) es la constante de integración.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

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Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para expandir tu comprensión:

1. ¿Cómo se derivan otras identidades trigonométricas útiles para integrales?
2. ¿Cómo se resuelve la integral de \(\cos^6(x)\)?
3. ¿Qué diferencias hay en la integración de \(\sin^n(x)\) comparado con \(\cos^n(x)\)?
4. ¿Cómo se puede aplicar la reducción de potencias a otras funciones trigonométricas?
5. ¿Cómo se calcula la integral definida de \(\cos^4(x)\) entre \(0\) y \(\pi\)?

**Tip:** Cuando te enfrentas a integrales con potencias de funciones trigonométricas, intenta reducir la potencia usando identidades trigonométricas antes de integrar.

Learn how to solve the integral of cosine to the fourth power step-by-step. This problem utilizes trigonometric identities and reduction formulas for powers of cosine. Suitable for advanced high school and college students.

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