https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1726514538003qcytr9tm.jpg

me ayudas a hacer este ejercicio con desarrollo porfavor

Vamos a desarrollar ambos incisos del ejercicio que has proporcionado:

### Parte (a):
**Plantear un contraste de hipótesis para verificar si, en promedio, la ciudad B es más lluviosa que la ciudad A. Usar un nivel de significancia del 5%.**

#### Información dada:
- La cantidad de lluvia en la ciudad A sigue una distribución normal con una desviación estándar de \( \sigma_A = 20 \, \text{mm} \).
- La cantidad de lluvia en la ciudad B sigue una distribución normal con una desviación estándar de \( \sigma_B = 28 \, \text{mm} \).
- El promedio de las precipitaciones para la ciudad A es \( \bar{X}_A = 60 \, \text{mm} \) y para la ciudad B es \( \bar{X}_B = 75 \, \text{mm} \).
- Tamaño de la muestra: \( n_A = n_B = 80 \).

Queremos probar la hipótesis de si la ciudad B es más lluviosa que la ciudad A. Esto es un contraste de dos medias.

#### Hipótesis:
- **Hipótesis nula** (\( H_0 \)): \( \mu_B \leq \mu_A \), es decir, la ciudad B no es más lluviosa que la ciudad A.
- **Hipótesis alternativa** (\( H_a \)): \( \mu_B > \mu_A \), es decir, la ciudad B es más lluviosa que la ciudad A.

Este es un **contraste de una cola**, ya que estamos interesados en verificar si la media de la ciudad B es mayor que la de la ciudad A.

#### Estadístico de prueba:
Para comparar las medias de dos muestras independientes con varianzas conocidas, utilizamos el estadístico \( Z \) de la siguiente forma:

\[
Z = \frac{\bar{X}_B - \bar{X}_A}{\sqrt{\frac{\sigma_A^2}{n_A} + \frac{\sigma_B^2}{n_B}}}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
Z = \frac{75 - 60}{\sqrt{\frac{20^2}{80} + \frac{28^2}{80}}}
= \frac{15}{\sqrt{\frac{400}{80} + \frac{784}{80}}}
= \frac{15}{\sqrt{5 + 9.8}}
= \frac{15}{\sqrt{14.8}}
= \frac{15}{3.847}
= 3.90
\]

#### Comparar con el valor crítico:
El nivel de significancia es \( \alpha = 0.05 \) para una prueba de una cola. El valor crítico para \( Z \) a este nivel es \( Z_{0.05} = 1.645 \).

Como el valor calculado de \( Z = 3.90 \) es mayor que \( Z_{0.05} = 1.645 \), **rechazamos la hipótesis nula**.

#### Conclusión:
Con un nivel de significancia del 5%, podemos concluir que la ciudad B es significativamente más lluviosa que la ciudad A.

---

### Parte (b):
**Contraste de hipótesis para verificar si la proporción de sistemas frontales acompañados de vientos sobre 40 km/h es mayor al 55% en la ciudad B.**

#### Información dada:
- Se observaron 48 oportunidades en las que los sistemas frontales llegaron con vientos superiores a 40 km/h.
- Planteamos una prueba sobre la proporción, donde el nivel de referencia es 55% (\( p_0 = 0.55 \)).
- El tamaño de la muestra es \( n = 80 \).

#### Hipótesis:
- **Hipótesis nula** (\( H_0 \)): \( p \leq 0.55 \), es decir, la proporción no es mayor al 55%.
- **Hipótesis alternativa** (\( H_a \)): \( p > 0.55 \), es decir, la proporción es mayor al 55%.

Este es un **contraste de una cola**.

#### Estadístico de prueba:
Usamos el estadístico para proporciones:

\[
Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}}}
\]

Donde:
- \( \hat{p} \) es la proporción observada, \( \hat{p} = \frac{48}{80} = 0.60 \).
- \( p_0 = 0.55 \).

Sustituyendo los valores:

\[
Z = \frac{0.60 - 0.55}{\sqrt{\frac{0.55 \times 0.45}{80}}}
= \frac{0.05}{\sqrt{\frac{0.2475}{80}}}
= \frac{0.05}{\sqrt{0.00309375}}
= \frac{0.05}{0.05563}
= 0.899
\]

#### Comparar con el valor crítico:
El nivel de significancia es \( \alpha = 0.05 \). El valor crítico para \( Z \) en una prueba de una cola es \( Z_{0.05} = 1.645 \).

Dado que el valor calculado de \( Z = 0.899 \) es menor que \( Z_{0.05} = 1.645 \), **no podemos rechazar la hipótesis nula**.

#### Conclusión:
No hay suficiente evidencia para concluir que la proporción de sistemas frontales acompañados de vientos superiores a 40 km/h sea mayor al 55%.

---

¿Te gustaría más detalles o aclaraciones de alguna de las partes?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué sucede si cambiamos el nivel de significancia en la prueba del inciso (a)?
2. ¿Cómo afectaría un tamaño de muestra diferente al resultado del inciso (b)?
3. ¿Qué tipo de error (tipo I o tipo II) podríamos estar cometiendo en este análisis?
4. ¿Cómo se calcularía el intervalo de confianza para la diferencia de medias en la parte (a)?
5. ¿Qué interpretación tiene el valor \( p \) en el contexto de este contraste de hipótesis?

### Tip:
El nivel de significancia (\( \alpha \)) establece la probabilidad de cometer un error tipo I (rechazar una hipótesis nula verdadera). Es importante ajustar \( \alpha \) adecuadamente dependiendo del contexto del problema.

Me ayudas a hacer este ejercicio con desarrollo porfavor

This exercise involves hypothesis testing to determine if City B receives more rainfall than City A and if the proportion of frontal systems with wind over 40 km/h is greater than 55%. The solution covers Z-tests for mean and proportion, using normal distribution and hypothesis testing principles.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation