6-	Una agencia vendedora de bienes raíces ha registrado el tiempo que dura en vender determinado bien, según datos anteriores el tiempo de venta se distribuye aproximadamente normal con un promedio de 90 días y una desviación estándar de 22 días. Recientemente una medición de 100 ventas realizadas indica un promedio de 94 días ¿cree usted que el tiempo demorado en la venta del bien ha aumentado? Use un nivel de significancia de 10% y concluya con base en el valor p.

Para determinar si el tiempo promedio para vender un bien ha aumentado, realizaremos una prueba de hipótesis sobre la media poblacional. Utilizaremos un nivel de significancia del 10% (\(\alpha = 0.10\)) y la distribución normal como aproximación, dado que el tamaño de la muestra es grande (\(n = 100\)).

### Formulación de la Prueba de Hipótesis

**Paso 1: Definir las hipótesis**

- **Hipótesis nula (\(H_0\))**: El tiempo promedio de venta no ha cambiado o no ha aumentado.

\[
H_0: \mu = 90 \text{ días}
\]

- **Hipótesis alternativa (\(H_a\))**: El tiempo promedio de venta ha aumentado.

\[
H_a: \mu > 90 \text{ días}
\]

Este es un caso de prueba de una cola (prueba unilateral a la derecha).

**Paso 2: Calcular el estadístico de prueba**

Dado que la distribución de la media muestral para muestras grandes es aproximadamente normal (según el teorema del límite central), el estadístico de prueba \(Z\) se calcula como:

\[
Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}
\]

donde:

- \(\bar{x} = 94\) días (media muestral),
- \(\mu_0 = 90\) días (media poblacional bajo la hipótesis nula),
- \(\sigma = 22\) días (desviación estándar poblacional),
- \(n = 100\) (tamaño de la muestra).

Sustituyendo estos valores:

\[
Z = \frac{94 - 90}{\frac{22}{\sqrt{100}}}
\]

Calcular el denominador:

\[
Z = \frac{4}{\frac{22}{10}} = \frac{4}{2.2} \approx 1.818
\]

**Paso 3: Determinar el nivel crítico y el valor p**

Con un nivel de significancia del 10% para una prueba de cola derecha, el valor crítico \(Z_c\) es aproximadamente 1.28 (de la tabla de la distribución normal estándar).

- Si \(Z > Z_c\), rechazamos la hipótesis nula \(H_0\).
- Si \(Z \leq Z_c\), no rechazamos la hipótesis nula \(H_0\).

En este caso, \(Z = 1.818 > 1.28\).

**Conclusión preliminar:** Rechazamos la hipótesis nula \(H_0\). Existe evidencia estadística para concluir que el tiempo promedio de venta ha aumentado.

**Paso 4: Calcular el valor p**

El valor p corresponde a la probabilidad de observar un valor de \(Z\) tan extremo o más que el observado, bajo la hipótesis nula. Para \(Z = 1.818\), el valor p se puede obtener de la tabla de la distribución normal estándar.

\[
P(Z > 1.818) \approx 0.0344
\]

**Paso 5: Comparar el valor p con el nivel de significancia**

- Si \(p \leq \alpha\), rechazamos \(H_0\).
- Si \(p > \alpha\), no rechazamos \(H_0\).

En este caso, \(p \approx 0.0344 < 0.10\).

**Conclusión final:** El valor p es menor que el nivel de significancia del 10%. Por lo tanto, rechazamos la hipótesis nula \(H_0\) y concluimos que hay suficiente evidencia para decir que el tiempo promedio de venta ha aumentado.

### Resumen de la Decisión

Dado que tanto el resultado de la prueba de hipótesis como el valor p indican rechazar la hipótesis nula, **hay suficiente evidencia para afirmar que el tiempo promedio de venta de los bienes ha aumentado**.

---

¿Tienes alguna pregunta sobre el procedimiento o te gustaría más detalles sobre algún paso?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula el valor p para pruebas de hipótesis de dos colas?
2. ¿Qué sucede si se reduce el nivel de significancia en este tipo de pruebas?
3. ¿Cómo afecta la desviación estándar a la precisión de la prueba de hipótesis?
4. ¿Qué otros métodos pueden utilizarse para comparar medias poblacionales?
5. ¿Cómo se interpreta la potencia de una prueba de hipótesis en el contexto de este problema?

**Tip:** Siempre revisa la suposición de normalidad y tamaño de la muestra adecuada antes de realizar pruebas de hipótesis para asegurar la validez de los resultados.

Explore a hypothesis test to determine if the average selling time of properties has increased. Learn about statistical significance, normal distribution, and how to interpret Z-tests. Suitable for advanced college-level students and professionals in statistics and data analysis.

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