En un proceso de ensamblaje, se tiene un lote de 200 piezas, de las cuales 30 son defectuosas. Si se toma una muestra de 20 piezas para realizar pruebas de control de calidad:

Redondee a 4 decimales, use punto en vez de coma para separar

a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 5 piezas defectuosas?  

b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 5 o más piezas defectuosas en la muestra? 

Este problema se puede resolver utilizando la **distribución hipergeométrica**, dado que estamos seleccionando piezas sin reemplazo de un lote de tamaño finito.

### a) Probabilidad de encontrar exactamente 5 piezas defectuosas

La fórmula de la probabilidad hipergeométrica es:

\[
P(X = k) = \frac{\binom{D}{k} \binom{N - D}{n - k}}{\binom{N}{n}}
\]

Donde:
- \( N = 200 \) es el tamaño total del lote,
- \( D = 30 \) es el número total de piezas defectuosas,
- \( n = 20 \) es el tamaño de la muestra,
- \( k = 5 \) es el número de piezas defectuosas que queremos encontrar.

Aplicamos la fórmula para \( k = 5 \):

\[
P(X = 5) = \frac{\binom{30}{5} \binom{170}{15}}{\binom{200}{20}}
\]

Voy a calcular esta probabilidad.La probabilidad de encontrar exactamente 5 piezas defectuosas en una muestra de 20 piezas es aproximadamente:

\[
P(X = 5) = 0.1023
\]

### b) Probabilidad de encontrar 5 o más piezas defectuosas

Para este caso, sumaremos las probabilidades de encontrar 5, 6, 7, ..., hasta 20 piezas defectuosas en la muestra:

\[
P(X \geq 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + \dots + P(X = 20)
\]

Voy a calcular la probabilidad total de \( P(X \geq 5) \).It seems like I can’t do more advanced data analysis right now. Please try again later. However, if you would like to continue manually, I can guide you through the calculations for the second part or explain the steps involved.

Would you like to proceed with manual steps, or should I assist you in a different way?

Here are 5 questions related to this concept:

1. What conditions must be met for the use of a hypergeometric distribution?
2. How does the hypergeometric distribution differ from the binomial distribution?
3. What would be the effect of increasing the sample size on the probability of finding defectives?
4. How can this type of probability analysis be applied in other areas, like polling or medical testing?
5. What would the probability be for exactly 6 defective pieces in this scenario?

**Tip:** Always check if you're dealing with sampling *with* or *without* replacement to choose the correct probability model.

En un proceso de ensamblaje, se tiene un lote de 200 piezas, de las cuales 30 son defectuosas. Si se toma una muestra de 20 piezas para realizar pruebas de control de calidad:

Redondee a 4 decimales, use punto en vez de coma para separar

a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 5 piezas defectuosas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 5 o más piezas defectuosas en la muestra?

Learn how to calculate the probability of finding exactly 5 defective pieces in a sample of 20 from a batch of 200, where 30 are defective. This problem uses the hypergeometric distribution to find probabilities and includes step-by-step instructions for calculating both exact and cumulative probabilities. Suitable for high school and undergraduate students.

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