Num determinado processo de fabricação, 10% das peças são consideradas defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma. Então:
a) Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas numa caixa?
b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas numa caixa?
c) Se a empresa paga uma multa de R$10,00 por caixa em que houver alguma peça defeituosa, qual o valor esperado da multa num total de 1000 caixas?


Esse problema envolve o uso da **distribuição binomial**, uma vez que estamos lidando com uma situação onde há apenas dois resultados possíveis para cada peça (defeituosa ou não defeituosa) e a probabilidade de uma peça ser defeituosa é constante.

A distribuição binomial é descrita pela fórmula:

\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k}
\]

Onde:
- $n$ é o número total de tentativas (número de peças por caixa, $n = 5$),
- $k$ é o número de sucessos (número de peças defeituosas),
- $p$ é a probabilidade de sucesso (probabilidade de uma peça ser defeituosa, $p = 0,1$),
- $1 - p$ é a probabilidade de falha (probabilidade de uma peça não ser defeituosa, $1 - p = 0,9$),
- $\binom{n}{k}$ é o coeficiente binomial, que representa o número de formas de escolher $k$ sucessos em $n$ tentativas.

### a) Probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas numa caixa

Neste caso, $k = 3$, $n = 5$ e $p = 0,1$. Vamos calcular a probabilidade usando a fórmula da distribuição binomial.

\[
P(X = 3) = \binom{5}{3} (0,1)^3 (0,9)^2
\]

Calcularemos este valor.

### b) Probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas numa caixa

Aqui, devemos calcular a probabilidade de $X \geq 2$, ou seja, a soma das probabilidades de 2, 3, 4 e 5 peças defeituosas.

\[
P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
\]

Calcularemos cada uma dessas probabilidades e somaremos.

### c) Valor esperado da multa num total de 1000 caixas

O valor esperado da multa depende da probabilidade de haver pelo menos uma peça defeituosa em uma caixa. A multa por caixa é de R$10,00, então primeiro precisamos encontrar a probabilidade de haver **pelo menos uma peça defeituosa** em uma caixa, que é:

\[
P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)
\]

Uma vez encontrada essa probabilidade, o valor esperado da multa em uma caixa será $10 \cdot P(X \geq 1)$. Multiplicamos esse valor pelo número de caixas (1000) para obter o valor esperado total da multa.

Agora, vamos calcular todas as partes.Aqui estão os resultados para cada parte do problema:

### a) Probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas numa caixa:
\[
P(X = 3) = 0,0081 \quad (\text{ou seja, } 0,81\%)
\]

### b) Probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas numa caixa:
\[
P(X \geq 2) = 0,08146 \quad (\text{ou seja, } 8,15\%)
\]

### c) Valor esperado da multa num total de 1000 caixas:
O valor esperado da multa é aproximadamente **R$4095,10**.

Esses cálculos mostram a chance de defeitos por caixa e o impacto financeiro esperado devido a defeitos.

Deseja mais detalhes sobre algum cálculo ou tem alguma dúvida?

Aqui estão 5 questões relacionadas para expandir o entendimento:
1. Como a probabilidade muda se a quantidade de peças por caixa aumentar?
2. Qual seria a probabilidade de não haver nenhuma peça defeituosa em uma caixa?
3. Como calcularíamos a variância desse processo binomial?
4. Como a multa total mudaria se a probabilidade de defeito subisse para 20%?
5. Como seria a distribuição se usássemos caixas com 10 unidades?

**Dica:** Sempre verifique a sensibilidade de um processo com relação a pequenas mudanças de parâmetros, como probabilidade de defeito ou número de itens.

Num determinado processo de fabricação, 10% das peças são consideradas defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma. Então:
a) Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas numa caixa?
b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas numa caixa?
c) Se a empresa paga uma multa de R$10,00 por caixa em que houver alguma peça defeituosa, qual o valor esperado da multa num total de 1000 caixas?

Solve a manufacturing problem using binomial distribution to find the probability of defective pieces in a box of 5 units. Calculate the probability of exactly 3 defective pieces, two or more defective pieces, and determine the expected value of a penalty in 1000 boxes. Learn how the binomial distribution applies to real-world manufacturing defects.

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