De un grupo de 100 personas, 20 son mujeres. Si se selecciona al azar 30 personas ¿Cuál es la probabilidad de que en la selección allá exactamente 15 mujeres?

Para resolver este problema, utilizaremos el concepto de probabilidad combinatoria, específicamente la distribución hipergeométrica. La distribución hipergeométrica se aplica cuando seleccionamos un número de elementos sin reemplazo de una población dividida en dos categorías.

### Datos:
- Total de personas en el grupo: \( N = 100 \)
- Número total de mujeres en el grupo: \( M = 20 \)
- Número total de personas seleccionadas: \( n = 30 \)
- Número de mujeres seleccionadas: \( k = 15 \)

### Fórmula de la distribución hipergeométrica:
La probabilidad de seleccionar exactamente \( k \) mujeres se calcula con la siguiente fórmula:

\[
P(X = k) = \frac{\binom{M}{k} \cdot \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}
\]

Donde:
- \( \binom{M}{k} \) es el número de combinaciones de \( M \) mujeres tomadas \( k \) a la vez.
- \( \binom{N-M}{n-k} \) es el número de combinaciones de los hombres restantes tomadas \( n-k \) a la vez.
- \( \binom{N}{n} \) es el número de combinaciones totales al seleccionar \( n \) personas del grupo total \( N \).

### Cálculos:
1. **Número de formas de elegir 15 mujeres de 20:**
\[
\binom{20}{15} = \frac{20!}{15!(20-15)!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15504
\]

2. **Número de formas de elegir 15 hombres de los 80 restantes:**
\[
\binom{80}{15} = \frac{80!}{15!(80-15)!}
\]

3. **Número de formas de elegir 30 personas de 100:**
\[
\binom{100}{30} = \frac{100!}{30!(100-30)!}
\]

Sustituyendo estos valores en la fórmula de la probabilidad, obtenemos:

\[
P(X = 15) = \frac{15504 \times \binom{80}{15}}{\binom{100}{30}}
\]

Finalmente, podemos calcular numéricamente esta expresión para obtener la probabilidad exacta. Voy a calcularlo a continuación.La probabilidad de que, al seleccionar al azar 30 personas de un grupo de 100 donde 20 son mujeres, se seleccionen exactamente 15 mujeres es aproximadamente \( 0.0000035 \), o \( 0.00035\% \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo cambia la probabilidad si el número de mujeres en el grupo aumenta?
2. ¿Cómo se aplica la distribución hipergeométrica en otros contextos?
3. ¿Qué sucede con la probabilidad si seleccionamos menos de 30 personas?
4. ¿Cómo se calcula la probabilidad para un número diferente de mujeres seleccionadas?
5. ¿Qué otras distribuciones de probabilidad son útiles para problemas de selección?

**Tip:** En problemas de selección sin reemplazo, la distribución hipergeométrica es fundamental para calcular probabilidades precisas.

Calculate the probability of selecting exactly 15 women from a group of 100 people, where 20 are women, when 30 people are chosen at random. Learn the hypergeometric distribution formula and its application in combinatorial problems. Suitable for advanced high school and college students.

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