Poco tiempo después de ser puestos en servicio, algunos autobuses fabricados por una cierta compañía presentaron grietas debajo del chasis principal. Suponga que una ciudad particular utiliza 25 de estos autobuses y que en 8 de ellos aparecieron grietas.

c. Si se elige una muestra de 5 autobuses al azar, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 4 de los 5 tengan grietas visibles?

Pregunta 3Respuesta

a.
0.022


b.
1190


c.
53130


d.
0.023

Para resolver este problema, debemos usar la distribución hipergeométrica, ya que estamos seleccionando una muestra sin reemplazo de una población finita. La fórmula para la probabilidad en una distribución hipergeométrica es:

\[
P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}
\]

Donde:
- \( N \) es el tamaño de la población total (25 autobuses).
- \( K \) es el número total de éxitos en la población (8 autobuses con grietas).
- \( n \) es el tamaño de la muestra (5 autobuses).
- \( k \) es el número de éxitos que deseamos en la muestra (4 autobuses con grietas).

### Datos del problema:
- \( N = 25 \)
- \( K = 8 \)
- \( n = 5 \)
- \( k = 4 \)

### Paso 1: Calculamos cada combinación
1. \(\binom{K}{k} = \binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70\)
2. \(\binom{N-K}{n-k} = \binom{17}{1} = \frac{17!}{1!(17-1)!} = 17\)
3. \(\binom{N}{n} = \binom{25}{5} = \frac{25!}{5!(25-5)!} = 53130\)

### Paso 2: Sustituimos en la fórmula
\[
P(X = 4) = \frac{70 \times 17}{53130} = \frac{1190}{53130} \approx 0.0224
\]

Entonces, la probabilidad de que exactamente 4 de los 5 autobuses seleccionados tengan grietas visibles es aproximadamente **0.022**.

La respuesta correcta es **a. 0.022**.

---

¿Quieres más detalles sobre este cálculo o tienes alguna pregunta adicional?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para practicar:

1. ¿Cómo cambiaría la probabilidad si aumentamos el tamaño de la muestra a 6?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de los 5 autobuses tengan grietas?
3. ¿Qué probabilidad habría de que ninguno de los 5 autobuses seleccionados tenga grietas?
4. ¿Qué significaría si el resultado fuera mayor a 0.5 en este tipo de problema?
5. ¿Cómo se aplica la distribución hipergeométrica en otros contextos?

**Tip:** La distribución hipergeométrica es especialmente útil cuando se trabaja con muestras sin reemplazo de una población pequeña.

Learn how to calculate the probability of exactly 4 out of 5 buses having visible cracks using the hypergeometric distribution. This problem involves selecting a sample without replacement from a finite population of buses with known defects.

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