Sea X la variable aleatoria que representa el número de fracasos que ocurren antes de 
que se presente el primer éxito en repeticiones sucesivas e independientes de un experimento con 
sólo dos resultados posibles, éxito y fracaso. Sea p, 0<p<1, la probabilidad de obtener un éxito. 
a) Indicar el recorrido, RX, y la función de probabilidad puntual de X. 
b) ¿Cuál es el número esperado de repeticiones? ¿Cuál es la varianza de X? Consultar en el 
Apéndice II de esta guía de trabajos prácticos acerca de distribuciones especiales y ubicar el 
modelo que le corresponde a este ejercicio.
c) Proponer un ejemplo concreto que responda a esta distribución.

La variable aleatoria \( X \) que representa el número de fracasos antes de que se presente el primer éxito en repeticiones sucesivas e independientes de un experimento con sólo dos resultados posibles (éxito y fracaso) sigue una **distribución geométrica**. 

Vamos a responder cada apartado del ejercicio en detalle.

### a) Recorrido \( R_X \) y función de probabilidad puntual de \( X \)

**Recorrido \( R_X \)**:
La variable \( X \) puede tomar cualquier valor entero no negativo, es decir:
\[ R_X = \{0, 1, 2, 3, \ldots\} \]

**Función de probabilidad puntual**:
La función de probabilidad puntual de \( X \) (es decir, la probabilidad de que \( X \) tome un valor específico \( k \)) está dada por:
\[ P(X = k) = (1 - p)^k p \]
donde \( p \) es la probabilidad de obtener un éxito en una prueba.

### b) Número esperado de repeticiones y varianza de \( X \)

En una distribución geométrica:

**Esperanza (media)**:
\[ E(X) = \frac{1 - p}{p} \]

**Varianza**:
\[ \text{Var}(X) = \frac{1 - p}{p^2} \]

### c) Ejemplo concreto que responda a esta distribución

**Ejemplo concreto**:
Consideremos el ejemplo de lanzar una moneda con probabilidad \( p \) de obtener cara (éxito) y \( 1 - p \) de obtener cruz (fracaso). Queremos saber cuántos lanzamientos de la moneda se necesitan hasta que obtengamos la primera cara. 

Supongamos que la probabilidad de obtener cara es \( p = 0.5 \). Entonces:

- La esperanza (número esperado de lanzamientos hasta obtener la primera cara) es:
  \[
  E(X) = \frac{1 - 0.5}{0.5} = 1
  \]

- La varianza es:
  \[
  \text{Var}(X) = \frac{1 - 0.5}{(0.5)^2} = 2
  \]

Este es un modelo que representa la distribución geométrica para \( p = 0.5 \), y podemos aplicar los mismos cálculos para cualquier valor de \( p \) dentro del rango \( 0 < p < 1 \).

¿Te gustaría ver algún detalle adicional o tienes alguna pregunta sobre este problema?

Puedes preguntar sobre:
1. Distribución geométrica
2. Ejemplos adicionales de distribución geométrica
3. Propiedades de la distribución geométrica
4. Otros modelos de distribución de probabilidad
5. Aplicaciones prácticas de la distribución geométrica

**Tip:** Cuando trabajes con distribuciones geométricas, recuerda que el valor esperado es el número de fracasos antes del primer éxito, no el número de ensayos totales hasta el primer éxito.

Explore the geometric distribution in probability theory, which models the number of failures before the first success in a series of independent trials with two outcomes (success and failure). Learn about its probability mass function, expected number of trials, and variance. Includes a concrete example and calculations.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation