Bei dem Festival liegt der Frauenanteil unter den Besuchern bei 30%. 

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 15 kontrollierten Besuchern
i) höchstens drei Frauen sind;
ii)mindestens drei Frauen sind;
iii) erst der sechste kontrollierte Besucher eine Frau ist;
iv) die erste Frau spätestens in der 15. Kontrolle erscheint;
v) die erste Frau frühestens in der 15. Kontrolle erscheint;
vi) in der 15. Kontrolle die zweite Frau erscheint.


Um diese Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwenden wir die Binomialverteilung und die geometrische Verteilung, da es sich um eine diskrete Anzahl von Ereignissen mit zwei möglichen Ergebnissen (Frau oder nicht Frau) handelt. Der Anteil der Frauen unter den Besuchern beträgt \( p = 0,3 \), und der Anteil der Männer somit \( q = 0,7 \).

### Gegeben:
- \( p = 0,3 \) (Wahrscheinlichkeit für eine Frau)
- \( n = 15 \) (Anzahl der kontrollierten Besucher)
- \( q = 0,7 \) (Wahrscheinlichkeit für keinen Frau)

### i) Höchstens drei Frauen unter 15 kontrollierten Besuchern
Hier verwenden wir die Binomialverteilung \( B(n, p) \), um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass höchstens 3 Frauen unter den 15 Besuchern sind.

\[
P(X \leq 3) = \sum_{k=0}^{3} \binom{15}{k} \cdot (0{,}3)^k \cdot (0{,}7)^{15-k}
\]

### ii) Mindestens drei Frauen unter 15 kontrollierten Besuchern
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als Gegenwahrscheinlichkeit zu „höchstens 2 Frauen“ berechnen.

\[
P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2)
\]

### iii) Der sechste kontrollierte Besucher ist die erste Frau
Hier wird die geometrische Verteilung verwendet, da wir wissen wollen, dass die ersten fünf keine Frauen sind und die sechste eine Frau ist.

\[
P(X = 6) = (0{,}7)^{5} \cdot 0{,}3
\]

### iv) Die erste Frau erscheint spätestens in der 15. Kontrolle
Dies ist ebenfalls eine Aufgabe für die geometrische Verteilung, bei der die Wahrscheinlichkeit gesucht ist, dass die erste Frau spätestens nach 15 Kontrollen erscheint.

\[
P(X \leq 15) = 1 - (0{,}7)^{15}
\]

### v) Die erste Frau erscheint frühestens in der 15. Kontrolle
Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten 14 Besucher keine Frauen sind und die 15. eine Frau ist.

\[
P(X = 15) = (0{,}7)^{14} \cdot 0{,}3
\]

### vi) In der 15. Kontrolle erscheint die zweite Frau
Hier müssen wir die negative Binomialverteilung verwenden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die zweite Frau in der 15. Kontrolle erscheint, ist:

\[
P(X = 15) = \binom{14}{1} \cdot (0{,}3)^2 \cdot (0{,}7)^{13}
\]

Jetzt berechne ich die exakten Werte.Hier sind die berechneten Wahrscheinlichkeiten für die gestellten Fragen:

i) **Höchstens drei Frauen unter 15 kontrollierten Besuchern**:  
\[ P(X \leq 3) = 0,297 \]

ii) **Mindestens drei Frauen unter 15 kontrollierten Besuchern**:  
\[ P(X \geq 3) = 0,873 \]

iii) **Der sechste kontrollierte Besucher ist die erste Frau**:  
\[ P(X = 6) = 0,050 \]

iv) **Die erste Frau erscheint spätestens in der 15. Kontrolle**:  
\[ P(X \leq 15) = 0,995 \]

v) **Die erste Frau erscheint frühestens in der 15. Kontrolle**:  
\[ P(X = 15) = 0,002 \]

vi) **In der 15. Kontrolle erscheint die zweite Frau**:  
\[ P(X = 15) = 0,012 \]

Möchten Sie weitere Details zu den Berechnungen oder haben Sie noch Fragen?

### Verwandte Fragen:
1. Wie würde sich die Wahrscheinlichkeit in i) ändern, wenn der Frauenanteil 40% betrüge?
2. Was wäre die Wahrscheinlichkeit in iv), wenn die erste Frau spätestens nach 10 Kontrollen erscheint?
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6. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer anderen Verteilung, z.B. 25% Frauenanteil, die sechste Person die erste Frau ist?
7. Was wäre die Wahrscheinlichkeit, dass bei n = 10 Besuchern mindestens 2 Frauen sind?
8. Wie würde sich die Wahrscheinlichkeit in ii) ändern, wenn nur 10 Besucher kontrolliert würden?

### Tipp:
Bei Berechnungen mit Binomial- und geometrischen Verteilungen kann es hilfreich sein, die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Softwaretools oder Taschenrechnern zu bestimmen, um präzise Werte zu erhalten.

Explore how to calculate probabilities using binomial and geometric distributions for scenarios involving the probability of women among festival attendees. Includes detailed solutions for various questions on the probability of specific events.

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