La distribución de probabilidad junto a sus parámetros que la caracterizan.

Para modelar este problema, podemos utilizar la **distribución binomial negativa**, que es una generalización de la distribución geométrica. Esta distribución se utiliza para modelar el número de ensayos necesarios para obtener un número fijo de éxitos (en este caso, 5 éxitos) en una serie de ensayos independientes, donde cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito.

### **Distribución Binomial Negativa**

#### 1. **Definición**
La **distribución binomial negativa** describe la probabilidad de que se requieran \( X \) ensayos para obtener un número fijo \( r \) de éxitos. Cada ensayo tiene una probabilidad de éxito \( p \) y una probabilidad de fracaso \( q = 1 - p \).

En este caso:
- \( r = 5 \): Necesitamos 5 éxitos (es decir, encontrar 5 personas con mascotas).
- \( p = 0.35 \): Probabilidad de que una persona tenga una mascota.
- \( q = 0.65 \): Probabilidad de que una persona no tenga una mascota.

#### 2. **Función de Masa de Probabilidad (PMF)**
La función de masa de probabilidad de la distribución binomial negativa es:

\[
P(X = x) = \binom{x-1}{r-1} p^r q^{x-r}
\]

Donde:
- \( X = x \) es el número total de ensayos necesarios para obtener los \( r \) éxitos.
- \( \binom{x-1}{r-1} \) es el coeficiente binomial que cuenta el número de formas de distribuir \( r-1 \) éxitos en \( x-1 \) ensayos (el último ensayo es un éxito por definición).

#### 3. **Media y Varianza**
Los parámetros que caracterizan la distribución binomial negativa son:

- **Esperanza o media (Mean):**

\[
\mu = \frac{r}{p} = \frac{5}{0.35} \approx 14.29
\]

- **Varianza:**

\[
\sigma^2 = \frac{r \cdot q}{p^2} = \frac{5 \cdot 0.65}{0.35^2} \approx 26.53
\]

### 4. **Probabilidad Acumulada**
La probabilidad acumulada de que se necesiten como máximo \( n \) ensayos para obtener los 5 éxitos es:

\[
P(X \leq n) = \sum_{x=5}^{n} \binom{x-1}{r-1} p^r q^{x-r}
\]

Esta sumatoria nos dará la probabilidad acumulada de obtener las primeras 5 personas con mascotas en un máximo de \( n \) ensayos.

¿Te gustaría calcular la probabilidad acumulada para un número específico de ensayos, o hay algo más sobre la distribución binomial negativa que te gustaría explorar?

Explore the negative binomial distribution and its parameters, such as the number of trials needed to achieve a fixed number of successes. Learn about the probability mass function (PMF) and key formulas for calculating mean and variance. Suitable for advanced undergraduate students studying probability theory.

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