Encontre onde
a.
b.
c.
d.
f (t)
′ f(t) = (1 + 2t, 5 + 2t, 2 + t)
(2, 6, 3)
(2, 6, )
5
2
(2, 6, )
5
4
(2, 6, 8)

Para resolver essa questão, vamos entender as informações fornecidas. Parece que você está fornecendo componentes de uma função vetorial \( f(t) \) e a derivada \( f'(t) \), e deseja encontrar os pontos onde ocorrem certas condições.

### Dados:
1. Temos a derivada da função vetorial \( f'(t) = (1 + 2t, 5 + 2t, 2 + t) \).
2. Há pontos específicos fornecidos, como \( (2, 6, 3) \), \( (2, 6, ?) \), \( (2, 6, 8) \) e outras partes incompletas que precisam ser organizadas.

### Passos para resolver:
1. **Integração da derivada \( f'(t) \)**: A derivada é dada, então para encontrar \( f(t) \), precisamos integrar componente por componente.
   - \( f'(t) = (1 + 2t, 5 + 2t, 2 + t) \).
   
   A integração de \( f'(t) \) nos dá:
   \[
   f(t) = \left( \int (1 + 2t) dt, \int (5 + 2t) dt, \int (2 + t) dt \right)
   \]
   
   Realizando a integração:
   \[
   f(t) = (t + t^2 + C_1, 5t + t^2 + C_2, 2t + \frac{t^2}{2} + C_3)
   \]
   Onde \( C_1, C_2, C_3 \) são constantes de integração que podemos encontrar usando as condições iniciais.

2. **Usando os pontos dados**: 
   Um dos pontos fornecidos parece ser \( f(0) = (2, 6, 3) \), que podemos usar para determinar as constantes.

   Substituindo \( t = 0 \) em \( f(t) \):
   \[
   f(0) = (0 + 0 + C_1, 0 + 0 + C_2, 0 + 0 + C_3) = (C_1, C_2, C_3)
   \]
   Portanto, as constantes são:
   \[
   C_1 = 2, \quad C_2 = 6, \quad C_3 = 3
   \]

3. **Função final**: Agora que temos as constantes, podemos escrever a função vetorial completa:
   \[
   f(t) = (t + t^2 + 2, 5t + t^2 + 6, 2t + \frac{t^2}{2} + 3)
   \]

Agora, você pode encontrar os valores de \( f(t) \) para quaisquer outros valores de \( t \) que estejam relacionados aos pontos fornecidos.

---

**Dúvidas ou mais detalhes?**

Aqui estão 5 perguntas relacionadas:
1. Como podemos determinar outros pontos de \( f(t) \)?
2. Como o cálculo das constantes influencia o comportamento de \( f(t) \)?
3. Que interpretação física ou geométrica podemos associar à função vetorial \( f(t) \)?
4. Se \( f(t) \) descreve uma trajetória, qual seria sua forma gráfica?
5. Como resolver o valor de \( t \) para um determinado ponto conhecido de \( f(t) \)?

**Dica**: Ao integrar funções vetoriais, as constantes de integração para cada componente podem ser encontradas a partir de condições iniciais ou pontos conhecidos.

Learn how to find the vector function f(t) from its derivative f'(t) = (1 + 2t, 5 + 2t, 2 + t) by integrating each component and using given points to determine integration constants. This solution involves key calculus concepts such as integration and the Fundamental Theorem of Calculus, suitable for Grades 11-12.

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