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encontrar f en cada uno de los puntos de la imagen

Para resolver el problema, necesitamos encontrar \( f(x) \) o \( f(t) \) dado que nos proporcionan la segunda o tercera derivada.

Empezamos con el ejercicio número 21 y avanzamos uno por uno:

### Ejercicio 21
\( f''(x) = 20x^3 - 12x^2 + 6x \)

Para encontrar \( f(x) \), debemos integrar dos veces.

1. **Primera integración:**
   \[
   f'(x) = \int (20x^3 - 12x^2 + 6x) \, dx = 5x^4 - 4x^3 + 3x^2 + C_1
   \]
   
2. **Segunda integración:**
   \[
   f(x) = \int (5x^4 - 4x^3 + 3x^2 + C_1) \, dx = x^5 - x^4 + x^3 + C_1x + C_2
   \]

### Ejercicio 22
\( f''(x) = x^6 - 4x^4 + x + 1 \)

1. **Primera integración:**
   \[
   f'(x) = \int (x^6 - 4x^4 + x + 1) \, dx = \frac{x^7}{7} - \frac{4x^5}{5} + \frac{x^2}{2} + x + C_1
   \]
   
2. **Segunda integración:**
   \[
   f(x) = \int \left(\frac{x^7}{7} - \frac{4x^5}{5} + \frac{x^2}{2} + x + C_1\right) \, dx = \frac{x^8}{56} - \frac{4x^6}{30} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2} + C_1x + C_2
   \]

### Ejercicio 23
\( f''(x) = \frac{2}{3}x^{2/3} \)

1. **Primera integración:**
   \[
   f'(x) = \int \frac{2}{3}x^{2/3} \, dx = x^{5/3} + C_1
   \]

2. **Segunda integración:**
   \[
   f(x) = \int (x^{5/3} + C_1) \, dx = \frac{3}{8}x^{8/3} + C_1x + C_2
   \]

### Ejercicio 24
\( f''(x) = 6x + \sin x \)

1. **Primera integración:**
   \[
   f'(x) = \int (6x + \sin x) \, dx = 3x^2 - \cos x + C_1
   \]
   
2. **Segunda integración:**
   \[
   f(x) = \int (3x^2 - \cos x + C_1) \, dx = x^3 - \sin x + C_1x + C_2
   \]

### Ejercicio 25
\( f'''(t) = \cos t \)

1. **Primera integración:**
   \[
   f''(t) = \int \cos t \, dt = \sin t + C_1
   \]
   
2. **Segunda integración:**
   \[
   f'(t) = \int (\sin t + C_1) \, dt = -\cos t + C_1t + C_2
   \]
   
3. **Tercera integración:**
   \[
   f(t) = \int (-\cos t + C_1t + C_2) \, dt = -\sin t + \frac{C_1t^2}{2} + C_2t + C_3
   \]

### Ejercicio 26
\( f'''(t) = t - \sqrt{t} \)

1. **Primera integración:**
   \[
   f''(t) = \int (t - \sqrt{t}) \, dt = \frac{t^2}{2} - \frac{2}{3}t^{3/2} + C_1
   \]
   
2. **Segunda integración:**
   \[
   f'(t) = \int \left(\frac{t^2}{2} - \frac{2}{3}t^{3/2} + C_1\right) \, dt = \frac{t^3}{6} - \frac{4}{15}t^{5/2} + C_1t + C_2
   \]
   
3. **Tercera integración:**
   \[
   f(t) = \int \left(\frac{t^3}{6} - \frac{4}{15}t^{5/2} + C_1t + C_2\right) \, dt = \frac{t^4}{24} - \frac{8}{105}t^{7/2} + \frac{C_1t^2}{2} + C_2t + C_3
   \]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre alguno de los pasos?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se calculan las constantes de integración cuando se dan condiciones iniciales?
2. ¿Qué diferencias existen entre integrar una función algebraica y una trigonométrica?
3. ¿Cuál es la importancia de las derivadas superiores en física?
4. ¿Cómo afectan los exponentes fraccionarios en las integraciones?
5. ¿Qué técnicas especiales se usan para integrar funciones con raíces?

**Tip:** Recuerda siempre agregar una constante de integración en cada paso de integración, ya que las derivadas eliminan constantes.

Find the function f for each given second or third derivative.

Learn how to find the original function f(x) or f(t) from its second or third derivative through integration. This tutorial covers integration techniques for polynomials, trigonometric functions, and radicals, using the Fundamental Theorem of Calculus.

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