BerechnenSiediePotenzialfunktion.GegebenistdaszweidimensionaleVektorfeld
 f(x,y)= 1+ey
 x·ey 

Um die Potenzialfunktion für das zweidimensionale Vektorfeld \( \mathbf{f}(x,y) = \begin{pmatrix} 1 + e^y \\ x \cdot e^y \end{pmatrix} \) zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

### Schritt 1: Bestimmung der Potenzialfunktion

Eine Potenzialfunktion \( \phi(x,y) \) für das Vektorfeld \( \mathbf{f}(x,y) = (P(x,y), Q(x,y)) \) erfüllt die Bedingungen:

\[ \frac{\partial \phi}{\partial x} = P(x,y) = 1 + e^y \]
\[ \frac{\partial \phi}{\partial y} = Q(x,y) = x \cdot e^y \]

### Schritt 2: Integrieren nach \( x \)

Zuerst integrieren wir \( P(x,y) \) nach \( x \):

\[ \phi(x,y) = \int (1 + e^y) \, dx \]

Da \( e^y \) als Konstante betrachtet wird (da wir nach \( x \) integrieren), ergibt sich:

\[ \phi(x,y) = \int 1 \, dx + \int e^y \, dx = x + x \cdot e^y + h(y) \]

wobei \( h(y) \) eine Funktion ist, die nur von \( y \) abhängt.

### Schritt 3: Bestimmen der Funktion \( h(y) \)

Nun leiten wir \( \phi(x,y) \) nach \( y \) ab und setzen dies mit \( Q(x,y) \) gleich:

\[ \frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x + x \cdot e^y + h(y)) = x \cdot e^y + h'(y) \]

Setzen wir dies gleich \( Q(x,y) \):

\[ x \cdot e^y + h'(y) = x \cdot e^y \]

Das bedeutet:

\[ h'(y) = 0 \]

Daraus folgt, dass \( h(y) \) eine Konstante ist. Wir können \( h(y) = C \) setzen, wobei \( C \) eine Konstante ist.

### Schritt 4: Potenzialfunktion

Die Potenzialfunktion lautet daher:

\[ \phi(x,y) = x + x \cdot e^y + C \]

Da die Konstante \( C \) beliebig gewählt werden kann und keine Auswirkungen auf das Vektorfeld hat, setzen wir \( C = 0 \):

\[ \phi(x,y) = x + x \cdot e^y \]

### Zusammenfassung

Die Potenzialfunktion für das Vektorfeld \( \mathbf{f}(x,y) = \begin{pmatrix} 1 + e^y \\ x \cdot e^y \end{pmatrix} \) lautet:

\[ \phi(x,y) = x + x \cdot e^y \]

Haben Sie Fragen oder benötigen Sie weitere Details?

Hier sind einige Fragen, die Sie weiter untersuchen können:

1. Wie findet man eine Potenzialfunktion für ein dreidimensionales Vektorfeld?
2. Was sind die Anwendungen von Vektorfeldern und Potenzialfunktionen in der Physik?
3. Wie würde man die Potenzialfunktion graphisch darstellen?
4. Was passiert, wenn die Integrabilitätsbedingungen nicht erfüllt sind?
5. Wie berechnet man die Arbeit entlang eines Pfades in einem Vektorfeld mit einer Potenzialfunktion?

**Tipp:** Die Potenzialfunktion ist nützlich zur Vereinfachung von Berechnungen in konservativen Vektorfeldern, insbesondere bei der Bestimmung der Arbeit entlang eines Pfades.

Learn how to calculate the potential function for the vector field f(x,y) = 1 + e^y, x * e^y with step-by-step solutions. This problem involves vector fields, partial derivatives, integrals, and potential function concepts. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation