 Encontre uma equação para a reta tangente ao grafico de cada função no
 ponto dado:
 (a) f(x) = (2x+1)10 no ponto A(0,1)

Para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto específico, precisamos:

1. Encontrar a derivada da função, \( f'(x) \), para obter a inclinação da reta tangente.
2. Calcular a inclinação da reta tangente no ponto dado.
3. Usar a equação da reta tangente: \( y - y_1 = m(x - x_1) \), onde \( m \) é a inclinação e \( (x_1, y_1) \) é o ponto dado.

### Passo 1: Derivada da Função

Dada a função \( f(x) = (2x + 1)^{10} \), vamos encontrar a sua derivada usando a regra da cadeia.

\[
f'(x) = 10 \cdot (2x + 1)^{9} \cdot \frac{d}{dx}(2x + 1)
\]

A derivada de \( 2x + 1 \) em relação a \( x \) é \( 2 \), então:

\[
f'(x) = 10 \cdot (2x + 1)^{9} \cdot 2 = 20 \cdot (2x + 1)^{9}
\]

### Passo 2: Inclinação da Reta Tangente no Ponto \( A(0, 1) \)

Agora, calculamos \( f'(0) \):

\[
f'(0) = 20 \cdot (2(0) + 1)^{9} = 20 \cdot 1^{9} = 20
\]

Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto \( A(0, 1) \) é \( m = 20 \).

### Passo 3: Equação da Reta Tangente

Usamos a equação da reta tangente:

\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]

Substituindo os valores:

\[
y - 1 = 20(x - 0)
\]

Simplificando:

\[
y = 20x + 1
\]

### Resposta Final
A equação da reta tangente ao gráfico de \( f(x) = (2x + 1)^{10} \) no ponto \( A(0, 1) \) é:

\[
y = 20x + 1
\]

Se você quiser mais detalhes ou tiver alguma dúvida, estou aqui para ajudar!

Aqui estão 5 perguntas relacionadas:
1. Como encontrar a derivada de uma função composta mais complexa?
2. O que é a regra da cadeia e como ela é aplicada na derivada?
3. Como interpretar geometricamente a inclinação da reta tangente?
4. Como determinar a equação da reta tangente em pontos onde a derivada é zero?
5. O que acontece com a equação da reta tangente se a função original for uma função quadrática?

**Dica:** Sempre verifique o ponto dado na função original para garantir que ele realmente pertence ao gráfico da função antes de calcular a reta tangente.

Learn how to find the equation of the tangent line at point (0,1) for the function f(x) = (2x + 1)^10. Step-by-step solution includes calculating the derivative using the chain rule and using it to determine the tangent line equation. Suitable for college-level calculus students.

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