¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la recta normal a la gráfica de la función en x0?


f(x)=x^3-2x^2,x0=1

Para encontrar la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función \( f(x) = x^3 - 2x^2 \) en el punto \( x_0 = 1 \), necesitamos seguir los siguientes pasos:

### 1. Calcular la derivada de \( f(x) \)
La derivada de \( f(x) \) nos da la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la curva:

\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2) = 3x^2 - 4x
\]

### 2. Evaluar la derivada en \( x_0 = 1 \)
Evaluamos la derivada en \( x = 1 \) para encontrar la pendiente de la tangente en ese punto:

\[
f'(1) = 3(1)^2 - 4(1) = 3 - 4 = -1
\]

### 3. Encontrar la pendiente de la recta normal
La pendiente de la recta normal es el negativo del recíproco de la pendiente de la tangente:

\[
m_{\text{normal}} = -\frac{1}{m_{\text{tangente}}} = -\frac{1}{-1} = 1
\]

### 4. Hallar el punto \( (x_0, f(x_0)) \)
Primero evaluamos la función en \( x_0 = 1 \) para obtener el punto de tangencia:

\[
f(1) = 1^3 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1
\]

Así, el punto es \( (1, -1) \).

### 5. Usar la fórmula de la recta
La ecuación de la recta con pendiente \( m \) que pasa por el punto \( (x_1, y_1) \) es:

\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]

Sustituyendo los valores:

\[
y - (-1) = 1(x - 1)
\]

Simplificando:

\[
y + 1 = x - 1
\]

\[
y = x - 2
\]

### Respuesta
La ecuación de la recta normal a la gráfica de la función en \( x_0 = 1 \) es:

\[
y = x - 2
\]

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

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**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se obtiene la ecuación de la recta tangente en lugar de la normal?
2. ¿Qué sucede con la pendiente de la normal si la tangente es horizontal?
3. ¿Cómo se puede verificar si dos rectas son perpendiculares?
4. ¿Cómo se interpreta geométricamente la derivada en un punto?
5. ¿Qué representa la segunda derivada en el contexto de la curvatura de la función?

**Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta normal es siempre el negativo del inverso de la pendiente de la tangente.

Learn how to find the equation of the normal line to the function f(x) = x^3 - 2x^2 at x = 1. This problem involves calculus concepts such as derivatives and normal lines. Suitable for advanced high school students and those preparing for calculus exams.

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