Si     z1
 = −368+72 I
 ,  encuentra una de sus raíces cúbicas  y exprésala en la forma a+bI.

El número complejo que se nos da es \( z_1 = -368 + 72i \). Queremos encontrar una de sus raíces cúbicas y expresarla en la forma \( a + bi \).

Para calcular una raíz cúbica de un número complejo, utilizaremos la forma polar del número complejo, y luego aplicaremos la fórmula de la raíz cúbica.

### Paso 1: Convertir \( z_1 \) a forma polar
Un número complejo \( z = x + yi \) puede ser expresado en su forma polar como \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \), donde:
- \( r = |z| \) es el módulo de \( z \),
- \( \theta = \arg(z) \) es el argumento de \( z \).

Primero, calculamos el módulo \( r \) de \( z_1 \):
\[
r = \sqrt{(-368)^2 + 72^2}
\]

Luego, calculamos el argumento \( \theta \) usando:
\[
\theta = \arg(z) = \text{atan2}(y, x)
\]

### Paso 2: Aplicar la fórmula de la raíz cúbica
Para calcular una raíz cúbica de un número complejo en forma polar, la fórmula es:
\[
z^{1/3} = r^{1/3} \left( \cos \left( \frac{\theta + 2k\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{\theta + 2k\pi}{3} \right) \right)
\]
donde \( k = 0, 1, 2 \).

Vamos a calcular la primera raíz cúbica (para \( k = 0 \)) y convertirla de nuevo a la forma rectangular \( a + bi \).

### Paso 3: Realizar los cálculos
Voy a calcular estos valores ahora.Una de las raíces cúbicas del número complejo \( z_1 = -368 + 72i \) es \( 4 + 6i \), que está en la forma \( a + bi \).

¿Te gustaría ver más detalles sobre los pasos realizados o tienes alguna otra pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para practicar:
1. ¿Cómo convertir cualquier número complejo en su forma polar?
2. ¿Qué fórmula se usa para calcular raíces de números complejos en forma polar?
3. ¿Cómo puedes hallar todas las raíces cúbicas de un número complejo?
4. ¿Cuál es la diferencia entre el argumento de un número complejo y su ángulo en coordenadas polares?
5. ¿Cómo se relacionan el número de raíces de un número complejo con el exponente de la raíz?

**Tip:** Al calcular raíces de números complejos, considera siempre las posibles soluciones, ya que una raíz n-ésima tiene \( n \) soluciones distintas, separadas uniformemente en el círculo unitario.

Learn how to find the cube root of the complex number -368 + 72i and express it in the form a + bi. This problem involves converting complex numbers to polar form, applying the cube root formula, and understanding complex roots.

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