Para encontrar las raíces octavas de \( -1 + \sqrt{3}i \), primero debemos expresar el número en forma polar y luego aplicar la fórmula de De Moivre.

### Paso 1: Convertir a forma polar
La forma polar de un número complejo \( z = a + bi \) es:
\[
z = r \left( \cos(\theta) + i \sin(\theta) \right)
\]
donde \( r \) es el módulo y \( \theta \) es el argumento.

#### Módulo:
El módulo de \( z = -1 + \sqrt{3}i \) es:
\[
r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2
\]

#### Argumento:
Para el argumento \( \theta \), usamos:
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right)
\]
Este ángulo corresponde a \( \frac{2\pi}{3} \) radianes (o \( 120^\circ \)), ya que el número \( -1 + \sqrt{3}i \) está en el segundo cuadrante.

Entonces, en forma polar, \( -1 + \sqrt{3}i = 2 \text{cis} \frac{2\pi}{3} \), donde \( \text{cis} \theta = \cos \theta + i \sin \theta \).

### Paso 2: Aplicar la fórmula de De Moivre para las raíces octavas
Las raíces octavas de \( z = 2 \text{cis} \frac{2\pi}{3} \) son:
\[
w_k = r^{1/n} \text{cis} \left( \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right)
\]
donde \( n = 8 \) (porque buscamos raíces octavas) y \( k = 0, 1, 2, \dots, 7 \).

El valor de \( r^{1/8} \) es:
\[
r^{1/8} = 2^{1/8}
\]

Entonces, las raíces octavas son:
\[
w_k = 2^{1/8} \text{cis} \left( \frac{\frac{2\pi}{3} + 2k\pi}{8} \right), \quad k = 0, 1, 2, \dots, 7
\]

### Paso 3: Expresar las raíces
Para \( k = 0 \), la primera raíz es:
\[
w_0 = 2^{1/8} \text{cis} \left( \frac{2\pi}{3 \cdot 8} \right) = 2^{1/8} \text{cis} \left( \frac{2\pi}{24} \right)
\]
Similarmente, calculamos las otras raíces para los diferentes valores de \( k \).

¿Te gustaría que calcule las raíces para valores específicos de \( k \)?

---

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué representa el argumento en la forma polar de un número complejo?
2. ¿Cómo se relaciona la fórmula de De Moivre con las raíces complejas?
3. ¿Por qué el número complejo \( -1 + \sqrt{3}i \) está en el segundo cuadrante?
4. ¿Qué otros métodos existen para calcular raíces complejas?
5. ¿Qué sucede con los valores de \( r \) y \( \theta \) cuando \( k \) aumenta?

### Tip:
Recuerda que el número de raíces de un número complejo depende del grado \( n \) y siempre se distribuyen uniformemente en el círculo unitario.

Learn how to calculate the eighth roots of the complex number -1 + √3i using De Moivre's Theorem. This guide explains how to express the complex number in polar form and apply the theorem step-by-step. Suitable for advanced high school students (Grades 10-12) studying complex numbers and their roots.

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