Considere el número complejo -10 + 33i

Tiene cuatro raíces cuartas.

Una de ellas se encuentra en el segundo cuadrante.

Escriba la parte real de la raíz cuarta en el segundo cuadrante de -10 + 33i

 al menos 5 decimales

Para encontrar las raíces cuartas de un número complejo como \(-10 + 33i\), primero lo convertimos a su forma polar y luego aplicamos la fórmula de De Moivre. A continuación, te muestro los pasos:

### Paso 1: Convertir el número complejo a forma polar
Dado un número complejo \( z = -10 + 33i \), necesitamos encontrar el módulo \( r \) y el argumento \( \theta \).

- El módulo \( r \) es:
  \[
  r = \sqrt{(-10)^2 + (33)^2} = \sqrt{100 + 1089} = \sqrt{1189} \approx 34.4935
  \]

- El argumento \( \theta \) es el ángulo cuya tangente es \( \frac{33}{-10} \). Como el número se encuentra en el segundo cuadrante, tenemos:
  \[
  \theta = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{33}{10}\right) \approx \pi - \tan^{-1}(3.3)
  \]
  Calculamos:
  \[
  \tan^{-1}(3.3) \approx 1.2725 \, \text{radianes}
  \]
  Entonces, el argumento es:
  \[
  \theta \approx \pi - 1.2725 = 1.8691 \, \text{radianes}
  \]

### Paso 2: Aplicar la fórmula de De Moivre para raíces cuartas
La fórmula de De Moivre para las raíces \( n \)-ésimas es:
\[
z^{1/n} = r^{1/n} \left[\cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)\right]
\]
Para \( n = 4 \), buscamos las raíces cuartas. En este caso, \( k = 0, 1, 2, 3 \) (ya que hay 4 raíces). Como nos interesa la raíz que se encuentra en el segundo cuadrante, tomamos el valor de \( k \) correspondiente a ese cuadrante.

Calculamos \( r^{1/4} \):
\[
r^{1/4} = \sqrt[4]{34.4935} \approx 2.2346
\]

Ahora, calculamos las cuatro raíces cuartas para \( k = 0, 1, 2, 3 \). La que está en el segundo cuadrante es cuando \( k = 1 \).

Para \( k = 1 \):
\[
\theta_1 = \frac{1.8691 + 2\pi(1)}{4} \approx \frac{1.8691 + 6.2832}{4} \approx \frac{8.1523}{4} = 2.0381 \, \text{radianes}
\]

Entonces, la raíz cuarta en el segundo cuadrante es:
\[
z_1 = 2.2346 \left[\cos(2.0381) + i \sin(2.0381)\right]
\]
Calculamos la parte real:
\[
\text{Parte real} = 2.2346 \times \cos(2.0381) \approx 2.2346 \times (-0.4506) \approx -1.0066
\]

### Resultado
La parte real de la raíz cuarta en el segundo cuadrante de \( -10 + 33i \) es aproximadamente \(-1.00660\).

¿Te gustaría más detalles o alguna explicación adicional?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se puede representar un número complejo en forma polar?
2. ¿Cuál es el uso de la fórmula de De Moivre en la resolución de potencias y raíces de números complejos?
3. ¿Cómo se pueden encontrar las raíces n-ésimas de cualquier número complejo?
4. ¿Por qué es importante el ángulo (argumento) en la forma polar de un número complejo?
5. ¿Cómo afecta la elección del cuadrante al argumento de un número complejo?

**Tip:** Siempre verifica en qué cuadrante se encuentra tu número complejo antes de calcular su argumento.

Considere el número complejo -10 + 33i
Tiene cuatro raíces cuartas.
Una de ellas se encuentra en el segundo cuadrante.
Escriba la parte real de la raíz cuarta en el segundo cuadrante de -10 + 33i al menos 5 decimales.

Discover how to calculate the real part of the fourth root of the complex number -10 + 33i in the second quadrant using De Moivre's Theorem. This detailed solution walks through converting the number to polar form and applying the theorem to find the roots, focusing on the one in the second quadrant. The result is accurate to five decimal places.

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