cho ba điểm a(2,‐1,1); b(3,‐2,‐1); c(1,3,4). tìm điểm toạ độ e trên mặt phẳng xoy cách đều a,b,c

Để tìm tọa độ điểm \( E \) trên mặt phẳng \( xOy \) cách đều ba điểm \( A(2, -1, 1) \), \( B(3, -2, -1) \), và \( C(1, 3, 4) \), ta làm như sau:

### Bước 1: Xác định tọa độ điểm \( E \)
Do điểm \( E \) nằm trên mặt phẳng \( xOy \), tọa độ của nó sẽ có dạng \( E(x, y, 0) \).

### Bước 2: Tính khoảng cách từ \( E \) đến các điểm \( A \), \( B \), \( C \)
Khoảng cách từ \( E(x, y, 0) \) đến \( A(2, -1, 1) \) là:
\[
EA = \sqrt{(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (0 - 1)^2}
\]
Khoảng cách từ \( E(x, y, 0) \) đến \( B(3, -2, -1) \) là:
\[
EB = \sqrt{(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (0 + 1)^2}
\]
Khoảng cách từ \( E(x, y, 0) \) đến \( C(1, 3, 4) \) là:
\[
EC = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (0 - 4)^2}
\]

### Bước 3: Thiết lập các phương trình
Điểm \( E \) cách đều ba điểm \( A \), \( B \), \( C \) nên ta có:
\[
EA = EB = EC
\]

Ta sẽ thiết lập phương trình từ điều kiện \( EA = EB \) và \( EB = EC \), rồi giải hệ phương trình để tìm \( x \) và \( y \).

#### Phương trình 1: \( EA = EB \)
\[
\sqrt{(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + 1^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + 1^2}
\]
Bình phương hai vế:
\[
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + 1 = (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + 1
\]
Rút gọn:
\[
(x - 2)^2 - (x - 3)^2 + (y + 1)^2 - (y + 2)^2 = 0
\]
\[
(x^2 - 4x + 4) - (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 2y + 1) - (y^2 + 4y + 4) = 0
\]
\[
2x - 5 - 2y - 3 = 0 \implies x - y = 4
\]

#### Phương trình 2: \( EB = EC \)
\[
\sqrt{(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + 1^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + 16}
\]
Bình phương hai vế:
\[
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + 1 = (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + 16
\]
Rút gọn:
\[
(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) + 1 = (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) + 16
\]
\[
-4x + 8y - 11 = 0 \implies x - 2y = \frac{11}{4}
\]

### Bước 4: Giải hệ phương trình
Giải hệ hai phương trình:
\[
\begin{cases}
x - y = 4 \\
x - 2y = \frac{11}{4}
\end{cases}
\]

Giải ra \( x = \frac{27}{4} \), \( y = \frac{11}{4} \).

### Bước 5: Tìm tọa độ \( E \)
Tọa độ của điểm \( E \) là \( \left(\frac{27}{4}, \frac{11}{4}, 0\right) \).

---

Bạn có muốn biết thêm chi tiết hoặc có câu hỏi gì khác không?

Dưới đây là 5 câu hỏi liên quan:
1. Làm thế nào để xác định mặt phẳng chứa các điểm cách đều ba điểm đã cho?
2. Phương pháp này có áp dụng được cho trường hợp điểm \( E \) không nằm trên mặt phẳng \( xOy \) không?
3. Tại sao chúng ta cần thiết lập hai phương trình khoảng cách?
4. Có cách nào khác để giải bài toán này mà không cần dùng phương trình khoảng cách không?
5. Nếu tọa độ của các điểm \( A \), \( B \), \( C \) thay đổi, làm thế nào để tìm điểm \( E \) nhanh hơn?

**Mẹo:** Khi giải hệ phương trình, kiểm tra lại các bước trung gian để tránh sai sót trong phép tính rút gọn.

Learn how to find the coordinates of point E on the xOy plane equidistant from points A(2, -1, 1), B(3, -2, -1), and C(1, 3, 4). This problem involves using the distance formula and solving a system of equations to determine the coordinates. Suitable for high school students studying coordinate geometry and distance formulas.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation