A(-2,2) D (-1,1) C(2,0) B inconnu et OAB triangle équilatéral En français svp

Pour résoudre ce problème, nous devons trouver les coordonnées du point B de manière à ce que le triangle OAB soit équilatéral, où O est l'origine (0,0), et les points A, B, C, D sont définis dans un plan cartésien.

### Étape 1 : Calculer la longueur OA
La longueur d'un côté du triangle équilatéral, soit \( OA \), est donnée par la distance entre les points O(0,0) et A(-2,2).

\[
OA = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]

### Étape 2 : Propriétés du triangle équilatéral
Dans un triangle équilatéral, chaque angle est de 60 degrés. Si l'on tourne le point A de 60° autour de l'origine, on obtiendra le point B. Les coordonnées du point B peuvent être calculées en utilisant une rotation.

### Étape 3 : Rotation du point A pour trouver B
Pour effectuer une rotation de 60° dans le sens horaire autour de l'origine, on utilise les formules suivantes :

Si un point \( (x,y) \) est tourné d'un angle \( \theta \) autour de l'origine, les nouvelles coordonnées sont données par :

\[
x' = x \cos(\theta) + y \sin(\theta)
\]
\[
y' = -x \sin(\theta) + y \cos(\theta)
\]

Ici, \( \theta = 60^\circ \), donc \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \) et \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Appliquons cela aux coordonnées de A(-2, 2) :

\[
x' = -2 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -1 + \sqrt{3}
\]
\[
y' = -(-2) \times \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \times \frac{1}{2} = \sqrt{3} + 1
\]

Donc, les coordonnées de B sont \( \left(-1 + \sqrt{3}, \sqrt{3} + 1 \right) \).

### Conclusion :
Les coordonnées du point B sont \( \left(-1 + \sqrt{3}, \sqrt{3} + 1 \right) \).

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### Questions associées :

1. Comment trouver les coordonnées d'un point après une rotation de 90° ?
2. Comment vérifier si un triangle est équilatéral en utilisant seulement les coordonnées des sommets ?
3. Quelle est la formule générale pour la distance entre deux points dans un plan ?
4. Comment calculer l'aire d'un triangle en utilisant les coordonnées de ses sommets ?
5. Comment utiliser la trigonométrie pour résoudre des problèmes géométriques impliquant des angles particuliers ?

### Conseil :
Lorsque vous travaillez avec des triangles équilatéraux, souvenez-vous que la distance entre chaque paire de sommets est toujours égale, ce qui peut simplifier le calcul des longueurs manquantes.

Learn how to find the coordinates of point B to form an equilateral triangle OAB, where O is the origin (0,0), and points A, B, C, D are defined in a Cartesian plane. This problem involves properties of equilateral triangles, rotation in geometry, and Cartesian coordinates.

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