Descomponer, de ser posible, al vector ⃗a = (3,2) en las direcciones de los vectores ⃗ b = (6,−2) y
 ⃗c = (1,3).

Para descomponer el vector \(\vec{a} = (3, 2)\) en las direcciones de los vectores \(\vec{b} = (6, -2)\) y \(\vec{c} = (1, 3)\), necesitamos encontrar los escalares \(x\) y \(y\) tales que:

\[
\vec{a} = x\vec{b} + y\vec{c}
\]

Esto se traduce en la siguiente ecuación vectorial:

\[
(3, 2) = x(6, -2) + y(1, 3)
\]

Descomponiendo en componentes:

\[
3 = 6x + y
\]
\[
2 = -2x + 3y
\]

Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones lineales:

1. **Primera ecuación:**
   \[
   6x + y = 3
   \]
   De aquí, despejamos \(y\):
   \[
   y = 3 - 6x
   \]

2. **Sustituyendo \(y\) en la segunda ecuación:**
   \[
   2 = -2x + 3(3 - 6x)
   \]
   Simplificamos:
   \[
   2 = -2x + 9 - 18x
   \]
   \[
   2 = 9 - 20x
   \]
   \[
   20x = 7
   \]
   \[
   x = \frac{7}{20}
   \]

3. **Sustituyendo \(x\) en la primera ecuación para encontrar \(y\):**
   \[
   y = 3 - 6\left(\frac{7}{20}\right)
   \]
   \[
   y = 3 - \frac{42}{20}
   \]
   \[
   y = 3 - 2.1 = 0.9
   \]

Por lo tanto, el vector \(\vec{a}\) puede expresarse como:

\[
\vec{a} = \frac{7}{20} \vec{b} + 0.9 \vec{c}
\]

Esto significa que \(\vec{a}\) se puede descomponer en las direcciones de \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) como una combinación lineal de estos vectores.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Qué interpretación geométrica tiene la descomposición de un vector en otros vectores?
2. ¿Cómo se verifica si los vectores \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) son linealmente independientes?
3. ¿Qué sucede si los vectores \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) no son linealmente independientes?
4. ¿Cómo se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando matrices?
5. ¿Qué importancia tiene la descomposición de vectores en álgebra lineal?

**Tip:** En problemas de descomposición de vectores, es importante verificar si los vectores son linealmente independientes para garantizar que la descomposición sea única.

Learn how to decompose vector a = (3, 2) into the directions of vectors b = (6, -2) and c = (1, 3) using linear algebra techniques. This problem involves solving a system of linear equations to find scalars x and y. Suitable for university-level students studying linear algebra.

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