Las calificaciones del primer parcial de estadística de los 29 estudiantes del grupo de los viernes en la noche, tienen una media de 66,80 y una varianza de 12,60. Si la forma de la distribución es simétrica y con forma de campana, ¿Aproximadamente cuántas observaciones deberán encontrarse en el intervalo 59,70 – 73,90? 

Para determinar aproximadamente cuántas observaciones deben encontrarse en el intervalo \(59.70 - 73.90\) en una distribución simétrica y con forma de campana (es decir, una distribución normal), podemos utilizar la media y la desviación estándar proporcionadas.

Dado:
- Media (\(\mu\)): 66.80
- Varianza (\(\sigma^2\)): 12.60

Primero, calculamos la desviación estándar (\(\sigma\)):
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{12.60} \approx 3.55
\]

### Paso 1: Determinar los límites del intervalo en términos de desviaciones estándar
El intervalo dado es \(59.70 - 73.90\). Ahora, convertimos estos valores a puntuaciones z.

\[
z = \frac{X - \mu}{\sigma}
\]

Para \(X = 59.70\):
\[
z_1 = \frac{59.70 - 66.80}{3.55} \approx -2.00
\]

Para \(X = 73.90\):
\[
z_2 = \frac{73.90 - 66.80}{3.55} \approx 2.00
\]

### Paso 2: Consultar la tabla de la distribución normal estándar
Utilizamos una tabla de distribución normal estándar para encontrar la probabilidad asociada con los valores de \(z\).

Para \(z_1 = -2.00\) y \(z_2 = 2.00\):
\[
P(Z \leq 2.00) - P(Z \leq -2.00)
\]

De la tabla de la normal estándar:
\[
P(Z \leq 2.00) \approx 0.9772
\]
\[
P(Z \leq -2.00) \approx 0.0228
\]

Entonces:
\[
P(-2 \leq Z \leq 2) = 0.9772 - 0.0228 = 0.9544
\]

### Paso 3: Calcular el número de observaciones
El porcentaje de observaciones dentro del intervalo es aproximadamente 95.44%. Con 29 estudiantes:

\[
0.9544 \times 29 \approx 27.78
\]

### Conclusión
Aproximadamente 28 observaciones deberán encontrarse en el intervalo \(59.70 - 73.90\).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para expandir la información:

1. ¿Cómo se interpreta la desviación estándar en una distribución normal?
2. ¿Qué porcentaje de datos se encuentra dentro de una desviación estándar de la media en una distribución normal?
3. ¿Cómo afecta la varianza a la forma de la distribución?
4. ¿Qué es la distribución normal y por qué es importante en estadística?
5. ¿Qué otros intervalos podemos calcular con la media y la desviación estándar?
6. ¿Cuál es la diferencia entre varianza y desviación estándar?
7. ¿Cómo se utiliza la tabla de la distribución normal estándar para encontrar probabilidades?
8. ¿Qué significa que una distribución sea simétrica y tenga forma de campana?

**Tip:** Familiarízate con la tabla de la distribución normal estándar, ya que es una herramienta esencial para encontrar probabilidades y porcentajes en una distribución normal.

Aprende cómo calcular aproximadamente cuántas observaciones están en un intervalo específico de una distribución normal con media 66.80 y varianza 12.60. Utiliza la fórmula de puntuación z y la tabla de distribución normal estándar para obtener resultados precisos.

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