 Un objeto se lanza hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 
20 m/s. La altura "ℎ" (en metros) del objeto después de "𝑡" segundos está 
dada por la función ℎ(𝑡) = −4.9𝑡 al cuadrado + 20𝑡. 
a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el objeto?
b) ¿Cuándo toca el suelo nuevamente?

Para resolver el problema, utilizaremos la función que describe la altura del objeto en función del tiempo:

\[
h(t) = -4.9t^2 + 20t
\]

donde \( h(t) \) es la altura en metros y \( t \) es el tiempo en segundos.

### a) Altura máxima alcanzada por el objeto

La altura máxima se alcanza en el vértice de la parábola. Para encontrar el tiempo en el cual se alcanza esta altura máxima, usamos la fórmula para el vértice de una parábola \( y = ax^2 + bx + c \), que es \( t = -\frac{b}{2a} \).

En nuestro caso:

- \( a = -4.9 \)
- \( b = 20 \)

Sustituyendo estos valores en la fórmula del vértice:

\[
t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-4.9)}
\]

\[
t = \frac{20}{9.8} \approx 2.04 \text{ segundos}
\]

Ahora, para encontrar la altura máxima, sustituimos este valor de \( t \) en la función \( h(t) \):

\[
h(2.04) = -4.9(2.04)^2 + 20(2.04)
\]

\[
h(2.04) = -4.9(4.1616) + 40.8
\]

\[
h(2.04) \approx -20.392 + 40.8
\]

\[
h(2.04) \approx 20.41 \text{ metros}
\]

### b) Cuándo toca el suelo nuevamente

El objeto toca el suelo nuevamente cuando la altura \( h(t) \) es igual a 0. Es decir, resolvemos la ecuación:

\[
-4.9t^2 + 20t = 0
\]

Factorizamos la ecuación:

\[
t(-4.9t + 20) = 0
\]

Esto nos da dos soluciones:

1. \( t = 0 \) (el momento del lanzamiento)
2. \( -4.9t + 20 = 0 \)

Resolviendo para \( t \):

\[
-4.9t + 20 = 0
\]

\[
4.9t = 20
\]

\[
t = \frac{20}{4.9} \approx 4.08 \text{ segundos}
\]

Por lo tanto, el objeto toca el suelo nuevamente aproximadamente a los 4.08 segundos.

### Resumen de las respuestas:

1. **Altura máxima alcanzada por el objeto:** Aproximadamente 20.41 metros.
2. **Tiempo en que el objeto toca el suelo nuevamente:** Aproximadamente 4.08 segundos.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas
1. ¿Qué sucede si la velocidad inicial cambia? ¿Cómo afectaría eso la altura máxima?
2. ¿Cuál sería la velocidad del objeto en su punto más alto?
3. ¿Cómo se vería la gráfica de la función de altura con respecto al tiempo?
4. ¿Qué altura alcanza el objeto después de 1 segundo de haber sido lanzado?
5. ¿Cuánto tiempo tardará el objeto en alcanzar la mitad de su altura máxima?

**Tip:** La altura máxima de un objeto lanzado verticalmente se alcanza cuando su velocidad en la dirección vertical se reduce a cero debido a la gravedad.

Explore the maximum height and time to hit the ground of an object launched vertically. Learn how to apply kinematic equations, including quadratic formulas, to solve problems involving vertical motion. Suitable for advanced high school students.

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