demostrar la igualdad: secx/(tanx+cotx)=senx

Para demostrar la igualdad 

\[
\frac{\sec(x)}{\tan(x) + \cot(x)} = \sin(x),
\]

vamos a simplificar ambos lados de la ecuación paso a paso para verificar que son equivalentes.

### Paso 1: Expresar las funciones en términos de \(\sin(x)\) y \(\cos(x)\)

Primero, recordamos las definiciones de las funciones trigonométricas involucradas:

\[
\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}, \quad \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}, \quad \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}.
\]

### Paso 2: Sustituir estas definiciones en la expresión

Sustituyamos en el lado izquierdo de la ecuación:

\[
\frac{\sec(x)}{\tan(x) + \cot(x)} = \frac{\frac{1}{\cos(x)}}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)}}.
\]

### Paso 3: Simplificar la expresión en el denominador

Simplificamos el denominador combinando las fracciones:

\[
\frac{\frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)}} = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x) \cos(x)}.
\]

Sabemos que \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) (identidad pitagórica), así que el denominador se convierte en:

\[
\frac{1}{\sin(x) \cos(x)}.
\]

### Paso 4: Simplificar la fracción principal

Ahora sustituimos este resultado en la fracción original:

\[
\frac{\frac{1}{\cos(x)}}{\frac{1}{\sin(x) \cos(x)}}.
\]

Al dividir por una fracción, multiplicamos por su inverso:

\[
\frac{1}{\cos(x)} \cdot \frac{\sin(x) \cos(x)}{1} = \sin(x).
\]

### Paso 5: Conclusión

Después de simplificar, tenemos:

\[
\frac{\sec(x)}{\tan(x) + \cot(x)} = \sin(x).
\]

Esto demuestra que la igualdad es correcta.

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna pregunta?

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**Tip:** Memoriza las definiciones básicas de las funciones trigonométricas y sus identidades para facilitar la simplificación de ecuaciones.

Learn how to demonstrate the trigonometric identity sec(x)/(tan(x) + cot(x)) = sin(x) with a detailed step-by-step solution. This problem covers key trigonometric concepts and identities, including secant, tangent, and cotangent functions. Suitable for students in Grades 10-12.

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