“Tres pueblos, A, B y C, están unidos por carreteras rectas y planas. La distancia entre A y B es de 49 km, entre B y C es de 13 km. El ángulo formado por ambas carreteras es de (100^\circ). ¿Cuál es la distancia entre A y C?”

Para encontrar la distancia entre los puntos A y C, podemos usar la **Ley de los Cosenos**. Esta ley se aplica en triángulos no rectángulos y se expresa como:

\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)
\]

Donde:
- \(c\) es el lado opuesto al ángulo \(\gamma\),
- \(a\) y \(b\) son los otros dos lados del triángulo,
- \(\gamma\) es el ángulo opuesto al lado \(c\).

En este caso:
- \(a = 49\) km (la distancia entre A y B),
- \(b = 13\) km (la distancia entre B y C),
- \(\gamma = 100^\circ\) (el ángulo entre las carreteras que unen A-B y B-C).

Aplicamos la Ley de los Cosenos para encontrar la distancia \(AC\):

\[
AC^2 = 49^2 + 13^2 - 2(49)(13) \cdot \cos(100^\circ)
\]

\[
AC^2 = 2401 + 169 - 2(49)(13) \cdot \cos(100^\circ)
\]

Primero calculamos el valor de \(\cos(100^\circ)\) y luego resolvemos la ecuación. 

Déjame calcularlo para ti.La distancia entre los pueblos A y C es de aproximadamente **52.83 km**.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Cómo se deriva la Ley de los Cosenos?
2. ¿Qué ocurre si el ángulo entre las carreteras fuera \(90^\circ\)?
3. ¿Cómo cambia la distancia si el ángulo fuera mayor o menor que \(100^\circ\)?
4. ¿Qué otros métodos podrían utilizarse si tuviéramos más información sobre las posiciones?
5. ¿Cómo se aplicaría la Ley de los Seno en este triángulo?

**Tip:** Recuerda que la Ley de los Cosenos es muy útil en triángulos que no son rectángulos y que no conocemos todos sus lados.

Aprende cómo calcular la distancia entre los pueblos A y C utilizando la Ley de los Cosenos. Se proporciona una solución detallada paso a paso, con valores específicos como la distancia entre A y B (49 km), la distancia entre B y C (13 km), y el ángulo formado por ambas carreteras (100°).

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