O oscilador massa-mola é um sistema físico composto por uma mola ideal, de constante elástica k, presa a um corpo de massa m. Quando esticada ou comprimida, a mola adquire energia potencial elástica; quando solta, essa energia potencial passa a ser periodicamente convertida em energia cinética.



Sabendo disso, considere um sistema massa-mola composto de um objeto de massa m =1/2kg e uma mola de constante elástica k =3kg/s2que realiza um movimento harmônico simples, iniciando na posição x(0) = 8m com velocidade inicial x'(0) = -2m/s.

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Determine a posição aproximada do objeto em relação à posição de equilíbrio após 4 segundos de movimento e assinale a alternativa correta:

Selecione a resposta:
a
8m.

b
7,1517m.

c
5,1517m.

d
-5,1517m.

e
-7,1517m.

Para resolver este problema, precisamos utilizar as equações do movimento harmônico simples (MHS). A posição \(x(t)\) de um oscilador massa-mola em função do tempo pode ser expressa como:

\[
x(t) = A \cos(\omega t + \phi)
\]

onde:
- \(A\) é a amplitude do movimento,
- \(\omega\) é a frequência angular,
- \(\phi\) é a fase inicial.

**Passo 1: Calcular a frequência angular (\(\omega\))**

A frequência angular \(\omega\) é dada por:

\[
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}
\]

Substituindo os valores:

\[
\omega = \sqrt{\frac{3}{\frac{1}{2}}} = \sqrt{6} \text{ rad/s}
\]

**Passo 2: Determinar a fase inicial (\(\phi\))**

Sabemos que no instante \(t = 0\), \(x(0) = 8 \, \text{m}\) e \(x'(0) = -2 \, \text{m/s}\). Então, temos:

\[
x(0) = A \cos(\phi) = 8 \text{ m}
\]

\[
x'(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi)
\]

Para \(t = 0\):

\[
x'(0) = -A \omega \sin(\phi) = -2 \text{ m/s}
\]

Substituindo \(\omega = \sqrt{6}\):

\[
- A \sqrt{6} \sin(\phi) = -2
\]

Agora temos duas equações para \(A\) e \(\phi\):

1. \(A \cos(\phi) = 8\)
2. \(A \sqrt{6} \sin(\phi) = 2\)

**Passo 3: Resolver as equações**

Dividindo a segunda equação pela primeira:

\[
\tan(\phi) = \frac{2 / \sqrt{6}}{8} = \frac{1}{4\sqrt{6}} = \frac{1}{4\sqrt{6}} \approx \frac{1}{9.798} \approx 0.102
\]

Logo,

\(\phi \approx \tan^{-1}(0.102) \approx 0.102 \, \text{rad}\)

Agora, use a primeira equação para encontrar \(A\):

\[
A = \frac{8}{\cos(0.102)} \approx 8 \, \text{m}
\]

**Passo 4: Encontrar a posição \(x(4)\)**

Agora podemos encontrar a posição após 4 segundos, substituindo os valores na equação da posição:

\[
x(4) = 8 \cos(\sqrt{6} \cdot 4 + 0.102)
\]

Calculando:

\[
\sqrt{6} \cdot 4 \approx 9.798 \cdot 4 \approx 39.192 \, \text{rad}
\]

Então:

\[
x(4) \approx 8 \cos(39.192 + 0.102)
\]

\[
x(4) \approx 8 \cos(39.294) \approx 8 \cdot (-0.8948) \approx -7.1517 \, \text{m}
\]

**Resposta correta:**
e) \(-7,1517 \, \text{m}\).

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta? Aqui estão 5 questões relacionadas para expandir o conteúdo:

1. Como a energia potencial e cinética variam em um movimento harmônico simples?
2. Qual é a diferença entre movimento harmônico simples e movimento periódico geral?
3. Como se calcula a energia total de um sistema massa-mola?
4. O que aconteceria com a frequência angular se a massa fosse duplicada?
5. Como o deslocamento inicial afeta a fase inicial de um MHS?

**Dica:** A fase inicial \(\phi\) é determinada pelas condições iniciais do sistema, como a posição e a velocidade no instante inicial.

Learn how to determine the position of an object in a simple harmonic motion problem involving a mass-spring system. This problem uses key concepts like Simple Harmonic Motion (SHM), elastic potential energy, and angular frequency. Suitable for undergraduate physics students.

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