یک خودرو ۲ هزار کیلوگرمی به یک دیوار ۴ هزار کیلو گرمی با سرعت اولیه ۱۵ متر بر ثانیه برخورد میکند.دیوار 
 به یک فنر با سختی ۵۰ کیلو نیوتن بر متر متصل است.میزان بیشینه جابجایی و همچنین جابجایی در ثانیه ۱۰ را حساب کنید

برای حل این مسئله، ابتدا باید به چند مرحله بپردازیم:

1. **محاسبه‌ی انرژی جنبشی اولیه خودرو:**

   انرژی جنبشی \(E_k\) خودرو قبل از برخورد به دیوار از رابطه‌ی زیر به دست می‌آید:

   \[
   E_k = \frac{1}{2} m v^2
   \]

   که در آن:
   - \(m = 2000\) کیلوگرم (جرم خودرو)
   - \(v = 15\) متر بر ثانیه (سرعت اولیه)

   بنابراین:

   \[
   E_k = \frac{1}{2} \times 2000 \times 15^2 = 225000 \text{ ژول}
   \]

2. **محاسبه جابجایی بیشینه فنر:**

   انرژی ذخیره‌شده در فنر زمانی که به حداکثر فشرده‌شدگی می‌رسد برابر با انرژی جنبشی اولیه خودرو خواهد بود. این انرژی به صورت انرژی پتانسیل فنر بیان می‌شود:

   \[
   E_s = \frac{1}{2} k x^2
   \]

   که در آن:
   - \(k = 50000\) نیوتن بر متر (ثابت فنر)
   - \(x\) جابجایی (فشرده‌شدگی فنر)

   از برابری انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل فنر:

   \[
   \frac{1}{2} \times 50000 \times x^2 = 225000
   \]

   با حل برای \(x\):

   \[
   x^2 = \frac{450000}{50000} = 9 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \text{ متر}
   \]

3. **محاسبه جابجایی در ثانیه ۱۰:**

   در اینجا، چون برخورد با فنر و سیستم دیوار بدون اصطکاک است، سیستم شروع به نوسان می‌کند. زمان دوره نوسان فنر به صورت زیر محاسبه می‌شود:

   \[
   T = 2\pi \sqrt{\frac{m_{eq}}{k}}
   \]

   که در آن:

   \[
   m_{eq} = \frac{m_1 \times m_2}{m_1 + m_2} = \frac{2000 \times 4000}{2000 + 4000} = 1333.33 \text{ کیلوگرم}
   \]

   سپس:

   \[
   T = 2\pi \sqrt{\frac{1333.33}{50000}} \approx 1.027 \text{ ثانیه}
   \]

   بنابراین در ثانیه ۱۰ (که معادل \(t = 10\) ثانیه است) جابجایی از معادله زیر به دست می‌آید:

   \[
   x(t) = x_{max} \cos\left(\frac{2\pi t}{T}\right) = 3 \cos\left(\frac{2\pi \times 10}{1.027}\right) \approx 3 \cos(61.2) \approx 3 \times 0.48 \approx 1.44 \text{ متر}
   \]

بنابراین، جابجایی در ثانیه‌ی ۱۰ حدود \(1.44\) متر خواهد بود.

**نتیجه:**

- جابجایی بیشینه: \(3\) متر
- جابجایی در ثانیه ۱۰: حدود \(1.44\) متر

آیا نیاز به توضیحات بیشتری دارید؟

در اینجا پنج سوال مرتبط دیگر:
1. اگر جرم دیوار تغییر کند، چه تاثیری بر دوره نوسان خواهد داشت؟
2. اگر سرعت خودرو به 20 متر بر ثانیه افزایش یابد، جابجایی بیشینه چقدر خواهد بود؟
3. اگر فنر سخت‌تر (با ضریب فنر بیشتر) باشد، جابجایی بیشینه چه تغییری خواهد کرد؟
4. چگونه می‌توان انرژی از دست رفته در یک برخورد غیرکشسان را محاسبه کرد؟
5. اگر جرم خودرو نصف شود، جابجایی بیشینه چه تغییری خواهد کرد؟

**نکته:** انرژی جنبشی وابسته به سرعت به صورت مربعی افزایش می‌یابد، یعنی اگر سرعت دو برابر شود، انرژی چهار برابر خواهد شد.

Learn how to calculate the maximum displacement of a spring and its displacement at 10 seconds after a 2000 kg car collides with a 4000 kg wall at 15 m/s. This problem involves kinetic energy, potential energy stored in a spring, and the period of oscillation formula. Suitable for undergraduate-level study.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation