En la figura, la masa m = 5 kg y la constante del
resorte es k = 64 N/m. El resorte está sin estirar
cuando x = 0. En t = 0, x = 0 y la masa tiene una
velocidad de 2 m/s hacia abajo sobre la superficie
inclinada. ¿Cuál es el valor de x en t = 0.9 s?
Considerar el ángulo de inclinación de
a) 15°
b) 25°

Para resolver este problema, necesitamos analizar el movimiento de la masa en un plano inclinado, bajo la influencia de la gravedad y el resorte.

### Datos del problema:
- Masa, \( m = 5 \, \text{kg} \)
- Constante del resorte, \( k = 64 \, \text{N/m} \)
- Velocidad inicial, \( v_0 = 2 \, \text{m/s} \) (hacia abajo en el plano inclinado)
- \( x(0) = 0 \)
- Tiempo, \( t = 0.9 \, \text{s} \)
- Ángulo de inclinación, \( \theta \) (dos casos: \( 15^\circ \) y \( 25^\circ \))

### Análisis:

La ecuación de movimiento para el sistema masa-resorte en un plano inclinado, considerando la fuerza del resorte y la componente de la gravedad a lo largo del plano inclinado, es:

\[
m \frac{d^2x}{dt^2} = mg\sin\theta - kx
\]

Donde:
- \( x(t) \) es la posición de la masa a lo largo del plano inclinado en función del tiempo.
- \( \frac{d^2x}{dt^2} \) es la aceleración de la masa.

### Ecuación Diferencial:

\[
m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = mg\sin\theta
\]

Dividiendo por \( m \):

\[
\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = g\sin\theta
\]

La solución general de esta ecuación diferencial es:

\[
x(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) + \frac{mg\sin\theta}{k}
\]

Donde:
- \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \) es la frecuencia angular del sistema.
- \( A \) y \( B \) son constantes que se determinan con las condiciones iniciales.

### Condiciones iniciales:

1. Para \( t = 0 \), \( x(0) = 0 \):
   \[
   x(0) = A + \frac{mg\sin\theta}{k} = 0 \implies A = -\frac{mg\sin\theta}{k}
   \]

2. La velocidad en \( t = 0 \) es \( v(0) = \frac{dx}{dt} \big|_{t=0} = 2 \, \text{m/s} \):
   \[
   v(0) = -A\omega \sin(\omega \cdot 0) + B\omega \cos(\omega \cdot 0) = B\omega
   \]
   \[
   2 = B\omega \implies B = \frac{2}{\omega}
   \]

### Solución específica:

Sustituyendo en la solución general, tenemos:

\[
x(t) = -\frac{mg\sin\theta}{k} \cos(\omega t) + \frac{2}{\omega} \sin(\omega t) + \frac{mg\sin\theta}{k}
\]

\[
x(t) = \frac{mg\sin\theta}{k} \left(1 - \cos(\omega t)\right) + \frac{2}{\omega} \sin(\omega t)
\]

### Cálculos:

Primero, calculamos \( \omega \):

\[
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{64 \, \text{N/m}}{5 \, \text{kg}}} = \sqrt{12.8} \approx 3.5777 \, \text{rad/s}
\]

Sustituyendo los valores, para cada ángulo:

#### a) \( \theta = 15^\circ \):

\[
x(0.9) = \frac{5 \times 9.81 \times \sin(15^\circ)}{64} \left(1 - \cos(3.5777 \times 0.9)\right) + \frac{2}{3.5777} \sin(3.5777 \times 0.9)
\]

#### b) \( \theta = 25^\circ \):

\[
x(0.9) = \frac{5 \times 9.81 \times \sin(25^\circ)}{64} \left(1 - \cos(3.5777 \times 0.9)\right) + \frac{2}{3.5777} \sin(3.5777 \times 0.9)
\]

Voy a calcular los valores exactos para cada ángulo.Los valores de \( x \) en \( t = 0.9 \) segundos para los diferentes ángulos de inclinación son:

a) Para un ángulo de \( 15^\circ \), \( x(0.9) \approx 0.352 \, \text{m} \).

b) Para un ángulo de \( 25^\circ \), \( x(0.9) \approx 0.603 \, \text{m} \).

¿Te gustaría que te explique algún paso en mayor detalle o tienes alguna pregunta adicional?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo cambiarían los resultados si la masa fuera diferente?
2. ¿Qué pasaría si la constante del resorte \( k \) se duplicara?
3. ¿Cómo afectaría una mayor velocidad inicial a los resultados?
4. ¿Qué sucedería si el ángulo de inclinación fuera mayor a \( 25^\circ \)?
5. ¿Cómo se podría resolver este problema utilizando energía en lugar de ecuaciones de movimiento?

**Tip:** Al resolver problemas de movimiento armónico simple, identificar las fuerzas actuantes y las condiciones iniciales es clave para establecer la ecuación diferencial correcta.

Explore how to solve a physics problem involving a mass on an inclined plane connected to a spring. Calculate the position x at time t = 0.9 seconds for angles of 15° and 25°. This problem covers mechanics, harmonic motion, and Newton's laws.

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