En Perfumerías JUTECO se elaboran y venden cremas anti-arrugas para damas. Una nueva crema anti-arrugas con ácido hialurónico debe ser estudiado en cuanto a sus posibilidades de permanencia en el mercado, para lo cual se ha asumido linealidad entre el precio (p) y la cantidad (q) de cremas. La información que se tiene es la siguiente: si el precio se fija en $50, la cantidad ofertada sería de 360 unidades y la cantidad demandada sería de 1.400 unidades. Si se incrementa el precio en $20, la cantidad ofertada aumentaría en 240 unidades y la cantidad demandada disminuiría en 20%

           
a)	(3 puntos) Determinar el punto de equilibrio del mercado.             


Para determinar el punto de equilibrio del mercado, necesitamos encontrar las funciones lineales de oferta y demanda, y luego igualarlas para encontrar el precio de equilibrio ($p_e$) y la cantidad de equilibrio ($q_e$).

### Paso 1: Determinar la función de demanda

La información proporcionada nos dice que:

- A un precio de $50, la cantidad demandada es 1,400 unidades.
- Si el precio se incrementa en $20 (es decir, a $70), la cantidad demandada disminuye en 20%.

Primero, calculamos la nueva cantidad demandada cuando el precio es $70:
\[
q_d(70) = 1,400 - (0.20 \times 1,400) = 1,400 - 280 = 1,120 \text{ unidades}
\]

Ahora, tenemos dos puntos en la función de demanda: $(50, 1400)$ y $(70, 1120)$. Utilizaremos la fórmula de la pendiente $m$ para una recta que pasa por estos dos puntos:

\[
m_d = \frac{q_{d2} - q_{d1}}{p_2 - p_1} = \frac{1120 - 1400}{70 - 50} = \frac{-280}{20} = -14
\]

La ecuación de la recta demanda tiene la forma $q_d = m_d \cdot p + b_d$. Utilizando uno de los puntos para encontrar $b_d$:

\[
1400 = -14 \cdot 50 + b_d \implies 1400 = -700 + b_d \implies b_d = 2100
\]

Por lo tanto, la función de demanda es:
\[
q_d = -14p + 2100
\]

### Paso 2: Determinar la función de oferta

La información proporcionada nos dice que:

- A un precio de $50, la cantidad ofertada es 360 unidades.
- Si el precio se incrementa en $20 (es decir, a $70), la cantidad ofertada aumenta en 240 unidades.

Calculamos la nueva cantidad ofertada cuando el precio es $70:
\[
q_o(70) = 360 + 240 = 600 \text{ unidades}
\]

Ahora, tenemos dos puntos en la función de oferta: $(50, 360)$ y $(70, 600)$. Utilizamos la fórmula de la pendiente $m$ para una recta que pasa por estos dos puntos:

\[
m_o = \frac{q_{o2} - q_{o1}}{p_2 - p_1} = \frac{600 - 360}{70 - 50} = \frac{240}{20} = 12
\]

La ecuación de la recta oferta tiene la forma $q_o = m_o \cdot p + b_o$. Utilizando uno de los puntos para encontrar $b_o$:

\[
360 = 12 \cdot 50 + b_o \implies 360 = 600 + b_o \implies b_o = -240
\]

Por lo tanto, la función de oferta es:
\[
q_o = 12p - 240
\]

### Paso 3: Encontrar el punto de equilibrio

El punto de equilibrio ocurre donde la cantidad demandada es igual a la cantidad ofertada ($q_d = q_o$):

\[
-14p + 2100 = 12p - 240
\]

Resolviendo para $p$:

\[
2100 + 240 = 12p + 14p \implies 2340 = 26p \implies p = \frac{2340}{26} \implies p_e = 90
\]

Sustituimos $p_e$ en cualquiera de las ecuaciones para encontrar $q_e$. Usaremos la ecuación de oferta:

\[
q_e = 12 \cdot 90 - 240 = 1080 - 240 = 840
\]

### Resultado:

El punto de equilibrio del mercado es:
\[
(p_e, q_e) = (90, 840)
\]

¿Te gustaría algún detalle adicional o tienes alguna pregunta?

### Preguntas sugeridas:

1. ¿Cómo se determina la elasticidad precio de la demanda?
2. ¿Qué es la elasticidad cruzada y cómo se calcula?
3. ¿Cómo se interpreta el excedente del consumidor?
4. ¿Qué factores pueden afectar el equilibrio de mercado?
5. ¿Cómo se puede representar gráficamente el punto de equilibrio?

### Tip: 

Para resolver problemas de equilibrio de mercado, es esencial entender cómo construir y manipular funciones lineales de oferta y demanda.

Learn how to determine the market equilibrium point for an anti-wrinkle cream using linear functions. Understand the relationship between price and quantity demanded and offered, and calculate equilibrium price and quantity based on supply and demand functions.

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