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Para determinar el dominio y el codominio de las funciones proporcionadas en la imagen, primero es importante analizar cada función individualmente.

### 1. \( f(x) = 5 \cos(2x) \)
- **Dominio**: Esta es una función trigonométrica (coseno), que está definida para todos los valores reales de \( x \). 
  \[
  \text{Dominio}: (-\infty, \infty)
  \]
- **Codominio**: La función \( \cos(2x) \) varía entre \(-1\) y \(1\), por lo tanto \(5 \cos(2x)\) varía entre \(-5\) y \(5\).
  \[
  \text{Codominio}: [-5, 5]
  \]

### 2. \( f(x) = e^{3x} \)
- **Dominio**: La función exponencial está definida para todos los valores reales de \( x \).
  \[
  \text{Dominio}: (-\infty, \infty)
  \]
- **Codominio**: Como \( e^{3x} > 0 \) para cualquier \( x \), el codominio es \( (0, \infty) \).
  \[
  \text{Codominio}: (0, \infty)
  \]

### 3. \( f(x) = \log(x + 3) \)
- **Dominio**: El argumento del logaritmo debe ser mayor que 0:
  \[
  x + 3 > 0 \implies x > -3
  \]
  Entonces, el dominio es:
  \[
  \text{Dominio}: (-3, \infty)
  \]
- **Codominio**: Para \( \log(x + 3) \), el codominio es \( (-\infty, \infty) \).
  \[
  \text{Codominio}: (-\infty, \infty)
  \]

### 4. \( f(x) = -6 \sin(0x) \)
- **Dominio**: Aquí \( 0x = 0 \), por lo que la función es simplemente \( f(x) = -6 \). Esto es una constante.
  \[
  \text{Dominio}: (-\infty, \infty)
  \]
- **Codominio**: Dado que \( f(x) = -6 \) para cualquier \( x \), el codominio es simplemente \(-6\).
  \[
  \text{Codominio}: \{-6\}
  \]

### 5. \( f(x) = \left(\frac{5}{2}\right)^x \)
- **Dominio**: La función exponencial está definida para todos los valores reales de \( x \).
  \[
  \text{Dominio}: (-\infty, \infty)
  \]
- **Codominio**: Dado que \( \left(\frac{5}{2}\right)^x > 0 \) para cualquier \( x \), el codominio es \( (0, \infty) \).
  \[
  \text{Codominio}: (0, \infty)
  \]

### 6. \( f(x) = 2 \sin\left(\frac{2x + \pi}{2}\right) \)
- **Dominio**: La función seno está definida para todos los valores reales de \( x \).
  \[
  \text{Dominio}: (-\infty, \infty)
  \]
- **Codominio**: La función \( \sin\left(\frac{2x + \pi}{2}\right) \) varía entre \(-1\) y \(1\), por lo tanto, \( 2 \sin\left(\frac{2x + \pi}{2}\right) \) varía entre \(-2\) y \(2\).
  \[
  \text{Codominio}: [-2, 2]
  \]

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta sobre estas funciones? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina el dominio de una función trigonométrica?
2. ¿Por qué el codominio de una función exponencial es siempre positivo?
3. ¿Cómo afecta el cambio de base en una función logarítmica al dominio?
4. ¿Qué representa el codominio en una función constante?
5. ¿Cómo afecta la transformación de \( x \) en funciones trigonométricas al dominio y al codominio?
6. ¿Por qué la función \( f(x) = \log(x + 3) \) tiene un dominio restringido?
7. ¿Qué significaría para el dominio y el codominio si cambiáramos la función \( e^{3x} \) por \( e^{-3x} \)?
8. ¿Cómo se comporta el codominio de una función trigonométrica si se cambia el coeficiente que la multiplica?

**Tip**: Siempre que trabajes con funciones logarítmicas, asegúrate de verificar el dominio, ya que el argumento del logaritmo debe ser positivo.

Aprende cómo determinar el dominio y el codominio de varias funciones matemáticas, incluyendo funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Ejemplos detallados de cada función con explicaciones claras sobre sus dominios y codominios. Ideal para estudiantes de secundaria avanzada o universitarios.

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