Determinar el Dominio de las siguientes funciones vectoriales:
a).- r1(t) = ((t-1)/t)i + [Log10(3t)]j – (3e2t)k
b).- r2(t) = [(t+1)/(t2-2)]i + [Ln(t+1)]j + (t3)k

Para determinar el dominio de una función vectorial, se debe analizar el dominio de cada una de sus componentes y luego tomar la intersección de esos dominios.

### a) \( \mathbf{r}_1(t) = \left(\frac{t-1}{t}\right)\mathbf{i} + [\log_{10}(3t)]\mathbf{j} - (3e^{2t})\mathbf{k} \)

1. **Componente \( \mathbf{i} \):** \( \frac{t-1}{t} \)
   - El denominador no debe ser cero, por lo tanto, \( t \neq 0 \).
   - El dominio de esta componente es \( t \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \).

2. **Componente \( \mathbf{j} \):** \( \log_{10}(3t) \)
   - La función logaritmo está definida solo para \( 3t > 0 \), es decir, \( t > 0 \).
   - El dominio de esta componente es \( t > 0 \).

3. **Componente \( \mathbf{k} \):** \( -3e^{2t} \)
   - Esta función exponencial está definida para todos los valores de \( t \).
   - El dominio de esta componente es \( t \in \mathbb{R} \).

#### **Dominio de \( \mathbf{r}_1(t) \):**
La intersección de los dominios de las tres componentes es:
\[ t > 0 \]

### b) \( \mathbf{r}_2(t) = \left(\frac{t+1}{t^2-2}\right)\mathbf{i} + [\ln(t+1)]\mathbf{j} + (t^3)\mathbf{k} \)

1. **Componente \( \mathbf{i} \):** \( \frac{t+1}{t^2-2} \)
   - El denominador no debe ser cero: \( t^2 - 2 \neq 0 \).
   - Resolviendo \( t^2 = 2 \), obtenemos \( t = \pm\sqrt{2} \).
   - Entonces, \( t \neq \sqrt{2} \) y \( t \neq -\sqrt{2} \).
   - El dominio de esta componente es \( t \in \mathbb{R} \setminus \{\pm\sqrt{2}\} \).

2. **Componente \( \mathbf{j} \):** \( \ln(t+1) \)
   - La función logaritmo natural está definida para \( t+1 > 0 \), es decir, \( t > -1 \).
   - El dominio de esta componente es \( t > -1 \).

3. **Componente \( \mathbf{k} \):** \( t^3 \)
   - Esta función cúbica está definida para todos los valores de \( t \).
   - El dominio de esta componente es \( t \in \mathbb{R} \).

#### **Dominio de \( \mathbf{r}_2(t) \):**
La intersección de los dominios de las tres componentes es:
\[ t \in (-1, \infty) \setminus \{\pm\sqrt{2}\} \]

### Resumen:
- **Dominio de \( \mathbf{r}_1(t) \):** \( t > 0 \).
- **Dominio de \( \mathbf{r}_2(t) \):** \( t \in (-1, \infty) \setminus \{\pm\sqrt{2}\} \).

¿Te gustaría algún detalle adicional o tienes alguna pregunta sobre estos resultados?

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1. ¿Cómo se define el dominio de una función logarítmica?
2. ¿Qué sucede con el dominio de una función cuando el denominador se anula?
3. ¿Qué propiedades de las funciones exponenciales afectan su dominio?
4. ¿Cómo se determina el dominio de una función racional?
5. ¿Por qué es importante la intersección de dominios en funciones vectoriales?

**Tip:** Al analizar funciones logarítmicas, recuerda que el argumento del logaritmo debe ser estrictamente positivo.

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