Determinar si la función es inyectiva. g(x)={ x²+2 si -2≤x<0 -x+6/3 si 0≤x≤6 En caso positivo, obtener: La regla de correspondencia de su función inversa El dominio y rango de la función inversa Trazar aproximadamente la grafica g(x)

Para determinar si la función \( g(x) \) es inyectiva, debemos verificar si diferentes valores de \( x \) pueden producir el mismo valor de \( g(x) \). Es decir, necesitamos comprobar si la función cumple con la condición de inyectividad: \( g(x_1) = g(x_2) \) implica \( x_1 = x_2 \).

La función \( g(x) \) está definida por partes como sigue:

\[
g(x) =
\begin{cases} 
x^2 + 2 & \text{si } -2 \leq x < 0 \\
-\frac{x}{3} + 2 & \text{si } 0 \leq x \leq 6 
\end{cases}
\]

### Paso 1: Verificar la inyectividad en cada tramo de la función

1. **Tramo 1:** \( g(x) = x^2 + 2 \) para \( -2 \leq x < 0 \)

   La función \( x^2 + 2 \) es una parábola con vértice hacia arriba y su dominio está restringido a \( -2 \leq x < 0 \). Dado que es una función cuadrática en este intervalo, no es inyectiva en general. Sin embargo, como estamos considerando el intervalo \( -2 \leq x < 0 \), que es una porción de la parábola en la que es estrictamente creciente, sí es inyectiva en este tramo.

2. **Tramo 2:** \( g(x) = -\frac{x}{3} + 2 \) para \( 0 \leq x \leq 6 \)

   Esta es una función lineal con pendiente negativa. Las funciones lineales con pendiente diferente de cero son inyectivas, por lo tanto, \( g(x) \) es inyectiva en este tramo.

### Paso 2: Verificar inyectividad en los puntos de unión

Verifiquemos si hay continuidad y diferenciabilidad en el punto \( x = 0 \):

- Para \( x = 0 \):
  - Tramo 1: \( g(0^{-}) = 0^2 + 2 = 2 \)
  - Tramo 2: \( g(0^{+}) = -\frac{0}{3} + 2 = 2 \)

Dado que \( g(x) \) es igual en ambos tramos en \( x = 0 \), y no se repiten valores diferentes para un mismo \( g(x) \), no hay violación de inyectividad en este punto.

### Conclusión:
La función \( g(x) \) es inyectiva en su dominio completo.

### Paso 3: Obtener la función inversa

Para obtener la función inversa \( g^{-1}(x) \), resolveremos \( y = g(x) \) para \( x \) en ambos tramos:

1. **Tramo 1:** \( y = x^2 + 2 \) para \( -2 \leq x < 0 \)
   \[
   y - 2 = x^2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{y - 2}
   \]
   Como \( x \) está en el intervalo \( -2 \leq x < 0 \), tomamos la raíz negativa:
   \[
   g^{-1}(y) = -\sqrt{y - 2} \text{ para } 2 \leq y < 6
   \]

2. **Tramo 2:** \( y = -\frac{x}{3} + 2 \) para \( 0 \leq x \leq 6 \)
   \[
   y - 2 = -\frac{x}{3} \Rightarrow x = 3(2 - y)
   \]
   \[
   g^{-1}(y) = 6 - 3y \text{ para } 0 \leq y \leq 2
   \]

### Paso 4: Determinar el dominio y rango de la función inversa

- **Dominio de \( g^{-1}(x) \):** El rango de \( g(x) \), que es de \( [2, 6) \cup [0, 2] \).
- **Rango de \( g^{-1}(x) \):** El dominio de \( g(x) \), que es de \( [-2, 6] \).

### Paso 5: Graficar la función \( g(x) \)

Voy a describir cómo sería la gráfica:

- El tramo \( g(x) = x^2 + 2 \) es una parábola con vértice en el punto \((0, 2)\) y abre hacia arriba.
- El tramo \( g(x) = -\frac{x}{3} + 2 \) es una línea recta decreciente con pendiente \( -\frac{1}{3} \), comenzando en el punto \((0, 2)\) y terminando en el punto \((6, 0)\).

¿Te gustaría que grafique la función para ti?

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**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo se verifica la inyectividad de una función en general?
2. ¿Qué otras propiedades debe cumplir una función para que tenga inversa?
3. ¿Cómo se determina el dominio y el rango de una función inversa?
4. ¿Por qué es importante verificar la continuidad en el punto de unión de las funciones a trozos?
5. ¿Cómo se traza la gráfica de una función definida por partes?

**Tip:** Siempre verifica la continuidad y la diferenciabilidad en los puntos de unión cuando trabajas con funciones definidas por partes. Esto puede ayudarte a determinar características clave como inyectividad y continuidad.

Aprende cómo determinar si una función es inyectiva usando el ejemplo de la función g(x). Incluye la obtención de la función inversa, dominio y rango. Ideal para estudiantes universitarios interesados en matemáticas.

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