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La función dada es:

\[
f(x) = 7x^4 + 3.5x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 2
\]

Vamos a derivar \( f(x) \) con respecto a \( x \). Para derivar un polinomio, aplicamos la regla de la potencia \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \).

### Derivada de cada término:

1. Derivada de \( 7x^4 \): 
\[
\frac{d}{dx}(7x^4) = 4 \cdot 7x^{4-1} = 28x^3
\]
2. Derivada de \( 3.5x^3 \):
\[
\frac{d}{dx}(3.5x^3) = 3 \cdot 3.5x^{3-1} = 10.5x^2
\]
3. Derivada de \( -\frac{1}{2}x^2 \):
\[
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}x^2\right) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{2-1} = -x
\]
4. Derivada de \( x \):
\[
\frac{d}{dx}(x) = 1
\]
5. Derivada de la constante \( -2 \):
\[
\frac{d}{dx}(-2) = 0
\]

### Resultado final de la derivada:

\[
f'(x) = 28x^3 + 10.5x^2 - x + 1
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para practicar:

1. ¿Cómo se deriva una función de mayor grado, como \(x^5\)?
2. ¿Qué sucede si derivamos una función exponencial, como \(e^x\)?
3. ¿Cómo se deriva una función con coeficientes fraccionarios?
4. ¿Cómo derivar una función compuesta usando la regla de la cadena?
5. ¿Qué se obtiene al derivar una constante multiplicada por una función?

**Tip:** Al derivar polinomios, cada término puede ser derivado de forma independiente, lo que facilita el proceso.

Learn how to differentiate the polynomial function 7x^4 + 3.5x^3 - 1/2x^2 + x - 2 step by step using the power rule for derivatives. This problem covers key calculus concepts and is suitable for students in Grades 10-12.

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