3x⁵-5x⁴-3x³+7x-9 de la regla de 4 pasos

¡Vamos a derivar \( f(x) = 3x^5 - 5x^4 - 3x^3 + 7x - 9 \) usando la **regla de 4 pasos**! 

La **regla de 4 pasos** consiste en derivar una función usando la definición formal de derivada:

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
\]

### Paso 1: Incremento de la función
Primero, calculamos \( f(x + h) \) reemplazando \( x \) con \( x + h \) en la función original:

\[
f(x + h) = 3(x + h)^5 - 5(x + h)^4 - 3(x + h)^3 + 7(x + h) - 9
\]

Expandiendo cada término:

1. \( (x + h)^5 = x^5 + 5x^4h + 10x^3h^2 + 10x^2h^3 + 5xh^4 + h^5 \)
2. \( (x + h)^4 = x^4 + 4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4 \)
3. \( (x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 \)
4. \( (x + h) = x + h \)

Sustituyendo y expandiendo:

\[
f(x + h) = 3(x^5 + 5x^4h + 10x^3h^2 + 10x^2h^3 + 5xh^4 + h^5) 
- 5(x^4 + 4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4) 
- 3(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) 
+ 7(x + h) - 9
\]

Expandiendo completamente:

\[
f(x + h) = 3x^5 + 15x^4h + 30x^3h^2 + 30x^2h^3 + 15xh^4 + 3h^5
- 5x^4 - 20x^3h - 30x^2h^2 - 20xh^3 - 5h^4
- 3x^3 - 9x^2h - 9xh^2 - 3h^3
+ 7x + 7h - 9
\]

### Paso 2: Incremento del cambio
Restamos \( f(x) \) de \( f(x + h) \) (esto es, restamos la función original \( f(x) = 3x^5 - 5x^4 - 3x^3 + 7x - 9 \)):

\[
f(x + h) - f(x) = (3x^5 + 15x^4h + 30x^3h^2 + 30x^2h^3 + 15xh^4 + 3h^5 - 5x^4 - 20x^3h - 30x^2h^2 - 20xh^3 - 5h^4 - 3x^3 - 9x^2h - 9xh^2 - 3h^3 + 7x + 7h - 9) - (3x^5 - 5x^4 - 3x^3 + 7x - 9)
\]

Simplificando eliminando los términos comunes que no dependen de \( h \):

\[
f(x + h) - f(x) = 15x^4h + 30x^3h^2 + 30x^2h

Explore the four-step rule to find the derivative of the polynomial function 3x⁵-5x⁴-3x³+7x-9. This step-by-step guide covers key calculus concepts, including limits and the formal definition of the derivative, suitable for college-level calculus students.

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