 Problema 1 Vamos calcular a derivada da função abaixo de duas maneiras diferentes
 f(x) = log2(x · 23x)
 (a) Primeiro, usando a Regra do Produto calcule a derivada de g(x) = x·23x
 (b) Usando o item anterior e a Regra da Cadeia, calcule f′(x) e simplifique
 o resultado
 (c) Agora vamos usar outro método para calcular a derivada de f. Primeiro,
 escreva f como a soma de dois logaritmos.
 (d) Usando a expressão obtida no item anterior, calcule a derivada de f e
 verifique se é igual à resposta do item (c)
 (e) Usando as propriedades do logaritmo, calcule f(1), f(2) e f(4)
 (f) Agora, usando a derivada de f, calcule f′(1), f′(2) e f′(4)
 (g) Explique por que f′(x) > 1 para todo x > 0.
 (h) Mostre que lim
 x→+∞
 f′(x) = 1


Vamos resolver o problema de maneira organizada, seguindo os itens mencionados:

### (a) Derivada de \( g(x) = x \cdot 2^{3x} \) usando a Regra do Produto

A função \( g(x) = x \cdot 2^{3x} \) é um produto de duas funções. Vamos aplicar a **Regra do Produto**:

Se \( g(x) = u(x) \cdot v(x) \), então:

\[
g'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
\]

Aqui, \( u(x) = x \) e \( v(x) = 2^{3x} \). Agora, vamos calcular suas derivadas:

- \( u'(x) = 1 \)
- Para derivar \( v(x) = 2^{3x} \), usamos a fórmula \( \frac{d}{dx} a^{h(x)} = a^{h(x)} \ln(a) h'(x) \). Portanto:

\[
v'(x) = 2^{3x} \ln(2) \cdot 3 = 3 \ln(2) \cdot 2^{3x}
\]

Agora, aplicamos a Regra do Produto:

\[
g'(x) = 1 \cdot 2^{3x} + x \cdot 3 \ln(2) \cdot 2^{3x}
\]

Colocando \( 2^{3x} \) em evidência:

\[
g'(x) = 2^{3x} \left( 1 + 3x \ln(2) \right)
\]

### (b) Derivada de \( f(x) = \log_2(x \cdot 2^{3x}) \) usando a Regra da Cadeia

Agora, temos \( f(x) = \log_2(x \cdot 2^{3x}) \). Usamos a fórmula da derivada do logaritmo de base \( a \), que é:

\[
\frac{d}{dx} \log_a(h(x)) = \frac{h'(x)}{h(x) \ln(a)}
\]

Aqui, temos que \( h(x) = x \cdot 2^{3x} \) e já calculamos \( h'(x) = g'(x) = 2^{3x} \left( 1 + 3x \ln(2) \right) \).

Então, a derivada de \( f(x) \) será:

\[
f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x) \ln(2)} = \frac{2^{3x} \left( 1 + 3x \ln(2) \right)}{x \cdot 2^{3x} \cdot \ln(2)}
\]

Simplificando:

\[
f'(x) = \frac{1 + 3x \ln(2)}{x \cdot \ln(2)}
\]

### (c) Escrevendo \( f(x) \) como a soma de dois logaritmos

Usando a propriedade dos logaritmos \( \log_b(ab) = \log_b(a) + \log_b(b) \), podemos reescrever \( f(x) \) como:

\[
f(x) = \log_2(x \cdot 2^{3x}) = \log_2(x) + \log_2(2^{3x})
\]

Agora, aplicando a propriedade \( \log_b(a^c) = c \log_b(a) \), obtemos:

\[
f(x) = \log_2(x) + 3x
\]

### (d) Derivando \( f(x) = \log_2(x) + 3x \)

Agora, derivamos cada termo separadamente:

- A derivada de \( \log_2(x) \) é \( \frac{1}{x \ln(2)} \)
- A derivada de \( 3x \) é \( 3 \)

Portanto:

\[
f'(x) = \frac{1}{x \ln(2)} + 3
\]

O resultado é o mesmo obtido no item (b), pois podemos reescrever \( 3 \) como \( \frac{3x \ln(2)}{x \ln(2)} \) e somar os termos.

### (e) Cálculo de \( f(1) \), \( f(2) \) e \( f(4) \)

Agora vamos calcular os valores de \( f(x) = \log_2(x) + 3x \) para os valores dados:

- \( f(1) = \log_2(1) + 3 \cdot 1 = 0 + 3 = 3 \)
- \( f(2) = \log_2(2) + 3 \cdot 2 = 1 + 6 = 7 \)
- \( f(4) = \log_2(4) + 3 \cdot 4 = 2 + 12 = 14 \)

### (f) Cálculo de \( f'(1) \), \( f'(2) \) e \( f'(4) \)

Usando a derivada \( f'(x) = \frac{1}{x \ln(2)} + 3 \), vamos calcular:

- \( f'(1) = \frac{1}{1 \cdot \ln(2)} + 3 = \frac{1}{\ln(2)} + 3 \)
- \( f'(2) = \frac{1}{2 \cdot \ln(2)} + 3 = \frac{1}{2 \ln(2)} + 3 \)
- \( f'(4) = \frac{1}{4 \cdot \ln(2)} + 3 = \frac{1}{4 \ln(2)} + 3 \)

### (g) Por que \( f'(x) > 1 \) para todo \( x > 0 \)?

A função derivada é \( f'(x) = \frac{1}{x \ln(2)} + 3 \). O termo \( \frac{1}{x \ln(2)} \) é sempre positivo para \( x > 0 \) e \( 3 \) é uma constante positiva. Portanto, \( f'(x) \) é sempre maior que 1, já que a soma de termos positivos é maior que 1.

### (h) Limite de \( f'(x) \) quando \( x \to +\infty \)

Agora, analisamos o comportamento de \( f'(x) = \frac{1}{x \ln(2)} + 3 \) quando \( x \to +\infty \):

- \( \frac{1}{x \ln(2)} \) tende a 0, pois o denominador cresce sem limites.
- Portanto, \( \lim_{x \to +\infty} f'(x) = 3 \), e assim \( \lim_{x \to +\infty} f'(x) = 3 \).

Se tiver alguma dúvida ou quiser mais detalhes sobre algum passo, posso ajudar!

### Perguntas relacionadas:
1. Como podemos interpretar graficamente a função \( f(x) \) e sua derivada?
2. Quais são as propriedades mais importantes do logaritmo que usamos na simplificação?
3. Como a Regra da Cadeia funciona em funções compostas com logaritmos?
4. Por que o limite da derivada tende a um valor constante conforme \( x \to \infty \)?
5. Como a derivada \( f'(x) \) ajuda a determinar o comportamento de crescimento de \( f(x) \)?

#### Dica:
Sempre que estiver lidando com logaritmos de produtos ou potências, tente reescrever a função usando as propriedades básicas de logaritmos para simplificar a derivada.

Problema 1 Vamos calcular a derivada da função abaixo de duas maneiras diferentes
 f(x) = log2(x · 23x)
 (a) Primeiro, usando a Regra do Produto calcule a derivada de g(x) = x·23x
 (b) Usando o item anterior e a Regra da Cadeia, calcule f′(x) e simplifique o resultado
 (c) Agora vamos usar outro método para calcular a derivada de f. Primeiro, escreva f como a soma de dois logaritmos.
 (d) Usando a expressão obtida no item anterior, calcule a derivada de f e verifique se é igual à resposta do item (c)
 (e) Usando as propriedades do logaritmo, calcule f(1), f(2) e f(4)
 (f) Agora, usando a derivada de f, calcule f′(1), f′(2) e f′(4)
 (g) Explique por que f′(x) > 1 para todo x > 0.
 (h) Mostre que lim x→+∞ f′(x) = 1

Learn how to calculate the derivative of f(x) = log2(x · 23x) through two methods: using the product rule and chain rule, and simplifying logarithmic expressions. This calculus problem covers derivative techniques and logarithmic properties. Suitable for undergraduate calculus students.

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