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La pregunta se refiere a la descripción de un sólido en el primer octante, limitado por las superficies \( S_1: z = 9 - x^2 - y^2 \), \( S_2: y = \sqrt{3}x \), y \( S_3: y = x \).

Para describir el sólido en coordenadas cilíndricas, hay que convertir las ecuaciones de las superficies a esta forma.

### Paso 1: Convertir las ecuaciones a coordenadas cilíndricas
- Para la superficie \( S_1: z = 9 - x^2 - y^2 \):
  - En coordenadas cilíndricas, \( x^2 + y^2 = r^2 \), por lo que \( z = 9 - r^2 \).

- Para la superficie \( S_2: y = \sqrt{3}x \):
  - Sabemos que en coordenadas cilíndricas \( x = r\cos\theta \) y \( y = r\sin\theta \).
  - Entonces, \( r\sin\theta = \sqrt{3}r\cos\theta \), lo que simplifica a \( \tan\theta = \sqrt{3} \). Esto implica que \( \theta = \frac{\pi}{3} \).

- Para la superficie \( S_3: y = x \):
  - Similarmente, \( r\sin\theta = r\cos\theta \), que simplifica a \( \tan\theta = 1 \), lo que implica \( \theta = \frac{\pi}{4} \).

### Paso 2: Definir el volumen del sólido
- El rango para \( r \) será desde \( 0 \) hasta donde \( z \geq 0 \), es decir, hasta \( r^2 \leq 9 \), o \( r \leq 3 \).
- El ángulo \( \theta \) varía entre \( \frac{\pi}{4} \) y \( \frac{\pi}{3} \).
- El rango para \( z \) es desde \( 0 \) hasta \( z = 9 - r^2 \).

### Respuesta correcta
Dado lo anterior, la respuesta correcta en términos de los límites de integración sería:

\[
E = \left\{ (r, \theta, z) \mid 0 \leq r \leq 3, \frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}, 0 \leq z \leq 9 - r^2 \right\}
\]

Esto corresponde a la opción **C**.

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¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determinan los límites de integración en coordenadas cilíndricas?
2. ¿Qué otras superficies se pueden describir fácilmente en coordenadas cilíndricas?
3. ¿Cuál es la ventaja de usar coordenadas cilíndricas en ciertos problemas?
4. ¿Cómo se puede calcular el volumen de un sólido utilizando estos límites de integración?
5. ¿Qué cambios ocurren si cambiamos una de las superficies dadas?

**Tip:** Siempre verifica las condiciones geométricas al convertir ecuaciones a coordenadas cilíndricas para asegurarte de que los límites son correctos.

Descubre cómo describir un sólido en el primer octante usando coordenadas cilíndricas y superficies tridimensionales. Este problema cubre la transformación a coordenadas cilíndricas y límites de integración para determinar el volumen del sólido. Adecuado para niveles avanzados universitarios.

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