LÍMITE DE Y CUANDO TIENDE A CERO DE SEN 3Y COT 5Y / Y COT 4Y

El límite que necesitas calcular es:

\[
\lim_{{y \to 0}} \frac{\sin(3y) \cdot \cot(5y)}{y \cdot \cot(4y)}
\]

Para resolverlo, primero descomponemos cada término usando las aproximaciones y las identidades trigonométricas para ángulos pequeños.

1. **Aproximaciones para ángulos pequeños**:

   - \(\sin(ky) \approx ky\) cuando \(y \to 0\).
   - \(\cot(ky) = \frac{\cos(ky)}{\sin(ky)} \approx \frac{1}{ky}\) cuando \(y \to 0\).

2. **Aplicamos estas aproximaciones**:

\[
\sin(3y) \approx 3y
\]
\[
\cot(5y) \approx \frac{1}{5y}
\]
\[
\cot(4y) \approx \frac{1}{4y}
\]

3. **Sustituyendo en la expresión original**:

\[
\lim_{{y \to 0}} \frac{(3y) \cdot \left(\frac{1}{5y}\right)}{y \cdot \left(\frac{1}{4y}\right)} = \lim_{{y \to 0}} \frac{3y \cdot \frac{1}{5y}}{y \cdot \frac{1}{4y}} 
\]

4. **Simplificando**:

\[
= \lim_{{y \to 0}} \frac{3 \cdot 4y}{5 \cdot y} = \lim_{{y \to 0}} \frac{12y}{5y} = \lim_{{y \to 0}} \frac{12}{5} = \frac{12}{5}
\]

Por lo tanto, el límite es:

\[
\boxed{\frac{12}{5}}
\]

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta?

---

**Preguntas relacionadas**:
1. ¿Cómo se calcula el límite de funciones trigonométricas complejas?
2. ¿Qué otras aproximaciones son útiles para calcular límites cuando \(y\) tiende a cero?
3. ¿Cómo se derivan las fórmulas de las series de Taylor para senos y cosenos?
4. ¿Cuáles son las diferencias clave entre la cotangente y la tangente?
5. ¿Cómo afectan las identidades trigonométricas el cálculo de límites?

**Tip**: Cuando trabajas con límites trigonométricos, usar las series de Taylor puede simplificar mucho el proceso.

Learn how to calculate the limit of the expression (sin(3y) * cot(5y)) / (y * cot(4y)) as y approaches 0. Understand the use of trigonometric approximations and identities for small angles. Detailed step-by-step solution provided.

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