Presente la demostración de insesgamiento para beta 1 y beta 0

Para demostrar el insesgamiento de los estimadores \( \hat{\beta}_1 \) y \( \hat{\beta}_0 \) en un modelo de regresión lineal simple, partimos del modelo:

\[
y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i
\]

donde \( y_i \) es la variable dependiente, \( x_i \) es la variable independiente, \( \beta_0 \) y \( \beta_1 \) son los coeficientes de regresión (intercepto y pendiente), y \( \varepsilon_i \) es el término de error que se asume que tiene media cero (\( E(\varepsilon_i) = 0 \)) y varianza constante \( \sigma^2 \).

### Insesgamiento de \( \hat{\beta}_1 \)
El estimador de \( \beta_1 \) usando mínimos cuadrados es:

\[
\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}
\]

Sustituyendo \( y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i \) en la expresión anterior:

\[
\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})\left[(\beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i) - \bar{y}\right]}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}
\]

Recordando que \( \bar{y} = \beta_0 + \beta_1 \bar{x} + \bar{\varepsilon} \), donde \( \bar{\varepsilon} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \varepsilon_i \):

\[
\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})\left[\beta_0 + \beta_1 (x_i - \bar{x}) + \varepsilon_i - \bar{\varepsilon}\right]}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}
\]

Dado que \( \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0 \):

\[
\hat{\beta}_1 = \beta_1 + \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) \varepsilon_i}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}
\]

Ahora, calculamos la esperanza matemática \( E(\hat{\beta}_1) \):

\[
E(\hat{\beta}_1) = E\left[\beta_1 + \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) \varepsilon_i}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\right]
\]

Dado que \( \beta_1 \) es constante y \( E(\varepsilon_i) = 0 \):

\[
E(\hat{\beta}_1) = \beta_1 + \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) E(\varepsilon_i)}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} = \beta_1 + 0 = \beta_1
\]

Por lo tanto, \( \hat{\beta}_1 \) es un estimador insesgado de \( \beta_1 \).

### Insesgamiento de \( \hat{\beta}_0 \)
El estimador de \( \beta_0 \) es:

\[
\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}
\]

Sustituyendo \( \bar{y} = \beta_0 + \beta_1 \bar{x} + \bar{\varepsilon} \) y usando la expresión para \( \hat{\beta}_1 \):

\[
\hat{\beta}_0 = (\beta_0 + \beta_1 \bar{x} + \bar{\varepsilon}) - \hat{\beta}_1 \bar{x}
\]

\[
\hat{\beta}_0 = \beta_0 + \beta_1 \bar{x} - \hat{\beta}_1 \bar{x} + \bar{\varepsilon}
\]

\[
\hat{\beta}_0 = \beta_0 + (\beta_1 - \hat{\beta}_1) \bar{x} + \bar{\varepsilon}
\]

Ahora, calculamos la esperanza matemática \( E(\hat{\beta}_0) \):

\[
E(\hat{\beta}_0) = E\left[\beta_0 + (\beta_1 - \hat{\beta}_1) \bar{x} + \bar{\varepsilon}\right]
\]

Dado que \( E(\hat{\beta}_1) = \beta_1 \) y \( E(\bar{\varepsilon}) = 0 \):

\[
E(\hat{\beta}_0) = \beta_0 + (\beta_1 - E(\hat{\beta}_1)) \bar{x} + E(\bar{\varepsilon}) = \beta_0 + (\beta_1 - \beta_1) \bar{x} + 0 = \beta_0
\]

Por lo tanto, \( \hat{\beta}_0 \) es un estimador insesgado de \( \beta_0 \).

### Resumen
Hemos demostrado que los estimadores \( \hat{\beta}_1 \) y \( \hat{\beta}_0 \) son insesgados, lo que significa que, en promedio, estos estimadores coinciden con los verdaderos valores de \( \beta_1 \) y \( \beta_0 \), respectivamente.

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¿Tienes alguna pregunta sobre la demostración o algún paso en particular que desees explorar más? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta la varianza del error \( \varepsilon_i \) a los estimadores \( \hat{\beta}_1 \) y \( \hat{\beta}_0 \)?
2. ¿Qué suposiciones son necesarias para el insesgamiento de \( \hat{\beta}_1 \) y \( \hat{\beta}_0 \)?
3. ¿Qué sucede si la suposición de homocedasticidad no se cumple?
4. ¿Cómo se comportan los estimadores \( \hat{\beta}_1 \) y \( \hat{\beta}_0 \) si los errores no son independientes?
5. ¿Cuál es la relación entre insesgamiento y consistencia de los estimadores?

**Tip:** Un estimador insesgado es deseable porque, en promedio, estima correctamente el parámetro poblacional, pero no garantiza que sea el estimador más eficiente.

Aprende cómo demostrar el insesgamiento de los estimadores \( \hat{\beta}_1 \) y \( \hat{\beta}_0 \) en un modelo de regresión lineal simple. Este problema aborda conceptos clave de estadística, incluyendo el uso de mínimos cuadrados y las propiedades de los estimadores insesgados. Adecuado para estudiantes y profesionales en estadística y ciencias relacionadas.

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