NO UTILICES APROXIMACIONES, NI LEY DE L HOPITAL

Entendido, resolvamos el límite sin usar aproximaciones ni la regla de L'Hôpital. Vamos a calcular el siguiente límite:

\[
\lim_{{y \to 0}} \frac{\sin(3y) \cdot \cot(5y)}{y \cdot \cot(4y)}
\]

1. **Descomponemos las funciones trigonométricas**:

   - La cotangente se puede expresar como \(\cot(ky) = \frac{\cos(ky)}{\sin(ky)}\).
   - Reescribamos el límite usando esta identidad:

\[
\lim_{{y \to 0}} \frac{\sin(3y) \cdot \frac{\cos(5y)}{\sin(5y)}}{y \cdot \frac{\cos(4y)}{\sin(4y)}}
\]

2. **Simplificamos la expresión**:
   
\[
= \lim_{{y \to 0}} \frac{\sin(3y) \cdot \cos(5y) \cdot \sin(4y)}{y \cdot \sin(5y) \cdot \cos(4y)}
\]

3. **Dividimos el límite en dos partes para simplificar**:

\[
= \lim_{{y \to 0}} \frac{\sin(3y)}{y} \cdot \lim_{{y \to 0}} \frac{\cos(5y) \cdot \sin(4y)}{\sin(5y) \cdot \cos(4y)}
\]

4. **Evaluación de los límites individuales**:
   
   - Sabemos que \(\lim_{{y \to 0}} \frac{\sin(ky)}{y} = k\), para cualquier constante \(k\).

\[
\lim_{{y \to 0}} \frac{\sin(3y)}{y} = 3
\]

   - Para la segunda parte, como \(\cos(ky)\) tiende a 1 cuando \(y \to 0\) y \(\sin(ky)\) tiende a \(ky\), tenemos:

\[
\lim_{{y \to 0}} \frac{\cos(5y) \cdot \sin(4y)}{\sin(5y) \cdot \cos(4y)} = \lim_{{y \to 0}} \frac{\cos(5y) \cdot 4y}{5y \cdot \cos(4y)} = \lim_{{y \to 0}} \frac{4 \cdot \cos(5y)}{5 \cdot \cos(4y)} = \frac{4 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{4}{5}
\]

5. **Resultado final**:

Multiplicamos los resultados de los dos límites:

\[
3 \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{5}
\]

Por lo tanto, el límite es:

\[
\boxed{\frac{12}{5}}
\]

¿Tienes alguna pregunta adicional o te gustaría una explicación más detallada?

---

**Preguntas relacionadas**:
1. ¿Cómo se pueden simplificar funciones trigonométricas complejas sin usar aproximaciones?
2. ¿Qué propiedades de las funciones trigonométricas son útiles al calcular límites?
3. ¿Cuál es la importancia de las identidades trigonométricas en el cálculo de límites?
4. ¿Cómo afecta la continuidad de las funciones trigonométricas en el cálculo de límites?
5. ¿Por qué \(\lim_{{y \to 0}} \frac{\sin(ky)}{y} = k\) para cualquier \(k\)?

**Tip**: En problemas de límites, las identidades trigonométricas y las propiedades fundamentales de las funciones pueden simplificar mucho el proceso de resolución.

Learn how to calculate the limit lim(y → 0) [sin(3y) * cot(5y) / (y * cot(4y))] without using approximations or L'Hôpital's rule. This problem involves advanced trigonometric functions and limit properties. Understand the application of trigonometric identities and limit properties in calculus.

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