Para resolver la derivada de la función \( y = x^x \), seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Reescribir la función usando logaritmos
Primero, reescribimos la función en una forma que sea más fácil de diferenciar. Usamos la propiedad de los logaritmos para manejar el exponente que también es una variable:

\[
y = x^x
\]

Tomamos el logaritmo natural en ambos lados:

\[
\ln y = \ln(x^x)
\]

Aplicamos la propiedad del logaritmo:

\[
\ln y = x \ln x
\]

### Paso 2: Diferenciar implícitamente
Ahora, diferenciamos ambos lados con respecto a \( x \):

\[
\frac{d}{dx} (\ln y) = \frac{d}{dx} (x \ln x)
\]

La derivada del lado izquierdo con respecto a \( x \) es:

\[
\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}
\]

La derivada del lado derecho es:

\[
\frac{d}{dx} (x \ln x) = \ln x + 1
\]

Por lo tanto, tenemos:

\[
\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln x + 1
\]

### Paso 3: Despejar \( \frac{dy}{dx} \)
Multiplicamos ambos lados por \( y \) para despejar \( \frac{dy}{dx} \):

\[
\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1)
\]

Sustituyendo \( y = x^x \) de vuelta en la ecuación, obtenemos:

\[
\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)
\]

### Respuesta final
La derivada de \( y = x^x \) es:

\[
\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)
\]

¿Te gustaría más detalles sobre la derivada o tienes alguna pregunta adicional?

---

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplican las reglas de derivación a otras funciones con exponentes variables?
2. ¿Qué otras propiedades de los logaritmos pueden simplificar derivadas complejas?
3. ¿Cómo afecta la elección del método de diferenciación al resultado?
4. ¿Puedes resolver la derivada de \( y = x^{\sin(x)} \)?
5. ¿Cómo se diferencian las funciones que involucran productos de varias variables?

**Tip:** Practicar la diferenciación implícita con logaritmos te ayudará a manejar derivadas más complejas.

Descubre cómo resolver la derivada de y = x^x utilizando diferenciación implícita y propiedades de funciones exponenciales y logarítmicas. Este problema cubre conceptos avanzados de cálculo, adecuado para estudiantes de secundaria avanzada o universitarios.

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