encuentra los puntos criticos de la siguiente función: 12x^2 + 12y^2  -x^3 y^3 + 5

Para encontrar los puntos críticos de la función \( f(x, y) = 12x^2 + 12y^2 - x^3y^3 + 5 \), seguimos los siguientes pasos:

### 1. Derivadas parciales
Primero calculamos las derivadas parciales de la función con respecto a \( x \) y \( y \).

#### Derivada parcial con respecto a \( x \):
\[
f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( 12x^2 + 12y^2 - x^3y^3 + 5 \right)
\]
\[
f_x(x, y) = 24x - 3x^2y^3
\]

#### Derivada parcial con respecto a \( y \):
\[
f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} \left( 12x^2 + 12y^2 - x^3y^3 + 5 \right)
\]
\[
f_y(x, y) = 24y - 3x^3y^2
\]

### 2. Resolver el sistema de ecuaciones
Para encontrar los puntos críticos, resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones, igualando a cero las derivadas parciales:

\[
f_x(x, y) = 0 \quad \Rightarrow \quad 24x - 3x^2y^3 = 0
\]
\[
f_y(x, y) = 0 \quad \Rightarrow \quad 24y - 3x^3y^2 = 0
\]

### 3. Simplificar las ecuaciones

De la primera ecuación \( 24x - 3x^2y^3 = 0 \), podemos factorizar:
\[
3x(8 - x y^3) = 0
\]
Esto nos da dos soluciones:
1. \( x = 0 \)
2. \( 8 = xy^3 \)

De la segunda ecuación \( 24y - 3x^3y^2 = 0 \), también podemos factorizar:
\[
3y(8 - x^3y) = 0
\]
Esto nos da dos soluciones:
1. \( y = 0 \)
2. \( 8 = x^3y \)

### 4. Encontrar las soluciones
#### Caso 1: \( x = 0 \)
Si \( x = 0 \), la ecuación \( 24y - 3x^3y^2 = 0 \) se reduce a:
\[
24y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 0
\]
Por lo tanto, un punto crítico es \( (0, 0) \).

#### Caso 2: \( y = 0 \)
Si \( y = 0 \), la ecuación \( 24x - 3x^2y^3 = 0 \) se reduce a:
\[
24x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0
\]
Esto también nos da el punto crítico \( (0, 0) \).

#### Caso 3: \( 8 = xy^3 \) y \( 8 = x^3y \)
Resolver el sistema de \( 8 = xy^3 \) y \( 8 = x^3y \) no tiene soluciones triviales adicionales que no sean el punto \( (0, 0) \).

### Conclusión
El único punto crítico de la función es \( (0, 0) \).

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre los pasos?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Qué son los puntos críticos y por qué son importantes?
2. ¿Cómo se puede determinar si un punto crítico es un máximo, mínimo o punto de silla?
3. ¿Qué son las derivadas parciales y cómo se calculan?
4. ¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones no lineal?
5. ¿Qué papel juegan las derivadas parciales en optimización multivariable?

**Tip**: Para estudiar la naturaleza de los puntos críticos, puedes usar la matriz Hessiana.

encuentra los puntos críticos de la siguiente función: 12x^2 + 12y^2 - x^3 y^3 + 5

Learn how to find the critical points of the multivariable function 12x^2 + 12y^2 - x^3y^3 + 5 using partial derivatives. This step-by-step guide includes solving nonlinear systems of equations and factorization. Suitable for university-level calculus students.

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