Encuentra los puntos críticos de la función f(x,y)=x²+y²-5x+4y+xy

Para encontrar los puntos críticos de la función \( f(x, y) = x^2 + y^2 - 5x + 4y + xy \), debemos seguir estos pasos:

1. **Encontrar las derivadas parciales de la función**.
2. **Igualar las derivadas parciales a cero para obtener el sistema de ecuaciones**.
3. **Resolver el sistema de ecuaciones para encontrar los puntos críticos**.

### Paso 1: Derivadas parciales

Calculamos las derivadas parciales de \( f \) con respecto a \( x \) y \( y \).

\[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y - 5 \]
\[ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 2y + x + 4 \]

### Paso 2: Igualar a cero

Igualamos las derivadas parciales a cero para encontrar los puntos críticos.

\[ 2x + y - 5 = 0 \quad \text{(1)} \]
\[ 2y + x + 4 = 0 \quad \text{(2)} \]

### Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones

Resolvemos el sistema de ecuaciones simultáneas:

De la ecuación (1), despejamos \( y \):

\[ y = 5 - 2x \]

Sustituimos \( y \) en la ecuación (2):

\[ 2(5 - 2x) + x + 4 = 0 \]
\[ 10 - 4x + x + 4 = 0 \]
\[ 14 - 3x = 0 \]
\[ 3x = 14 \]
\[ x = \frac{14}{3} \]

Ahora sustituimos \( x \) en la ecuación \( y = 5 - 2x \):

\[ y = 5 - 2\left(\frac{14}{3}\right) \]
\[ y = 5 - \frac{28}{3} \]
\[ y = \frac{15}{3} - \frac{28}{3} \]
\[ y = \frac{-13}{3} \]

Por lo tanto, el único punto crítico es:

\[ \left( \frac{14}{3}, \frac{-13}{3} \right) \]

### Resumen

El punto crítico de la función \( f(x, y) = x^2 + y^2 - 5x + 4y + xy \) es \( \left( \frac{14}{3}, \frac{-13}{3} \right) \).

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta?

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#### Preguntas sugeridas:
1. ¿Cómo se determinan los puntos de silla en una función de dos variables?
2. ¿Qué es el teorema de Fermat y cómo se aplica en la búsqueda de puntos críticos?
3. ¿Cómo se usan las matrices Hessianas para clasificar puntos críticos?
4. ¿Puedes explicar la diferencia entre un máximo local y un mínimo local?
5. ¿Cómo se resuelven sistemas de ecuaciones no lineales?

#### Consejo:
Para verificar la naturaleza de los puntos críticos (máximos, mínimos o puntos de silla), puedes usar la matriz Hessiana y el criterio de la segunda derivada.

Learn how to find critical points of the function f(x,y)=x²+y²-5x+4y+xy with a detailed step-by-step solution. This problem involves partial derivatives, equation solving techniques, and systems of equations. Suitable for advanced high school students and beyond.

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