¿Cuántos números enteros hay entre 240 y 930 tal que la suma de sus dígitos es igual a 10?

Para resolver este problema, necesitamos encontrar la cantidad de números enteros entre 240 y 930 cuya suma de dígitos sea igual a 10.

Primero, consideremos la estructura de un número de tres dígitos \( n = \overline{abc} \), donde \( a \), \( b \), y \( c \) son sus dígitos.

Sabemos que:

- \( 240 \leq n \leq 930 \)
- \( a + b + c = 10 \)
- \( a \) es el dígito de las centenas, \( b \) el dígito de las decenas, y \( c \) el dígito de las unidades.
  
### Paso 1: Determinar los posibles valores de \( a \)
- \( a \) puede tomar valores desde 2 (porque \( n \) es al menos 240) hasta 9 (porque \( n \) es a lo más 930).
- Entonces, \( a \) puede ser 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, o 9.

### Paso 2: Para cada \( a \), encontrar la cantidad de soluciones \( b + c = 10 - a \)
- El par \( (b, c) \) debe cumplir \( 0 \leq b \leq 9 \) y \( 0 \leq c \leq 9 \).

### Caso por caso:
1. \( a = 2 \), \( b + c = 8 \):
   - Soluciones: \( (8, 0), (7, 1), (6, 2), (5, 3), (4, 4), (3, 5), (2, 6), (1, 7), (0, 8) \) → 9 soluciones.

2. \( a = 3 \), \( b + c = 7 \):
   - Soluciones: \( (7, 0), (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6), (0, 7) \) → 8 soluciones.

3. \( a = 4 \), \( b + c = 6 \):
   - Soluciones: \( (6, 0), (5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4), (1, 5), (0, 6) \) → 7 soluciones.

4. \( a = 5 \), \( b + c = 5 \):
   - Soluciones: \( (5, 0), (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4), (0, 5) \) → 6 soluciones.

5. \( a = 6 \), \( b + c = 4 \):
   - Soluciones: \( (4, 0), (3, 1), (2, 2), (1, 3), (0, 4) \) → 5 soluciones.

6. \( a = 7 \), \( b + c = 3 \):
   - Soluciones: \( (3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3) \) → 4 soluciones.

7. \( a = 8 \), \( b + c = 2 \):
   - Soluciones: \( (2, 0), (1, 1), (0, 2) \) → 3 soluciones.

8. \( a = 9 \), \( b + c = 1 \):
   - Soluciones: \( (1, 0), (0, 1) \) → 2 soluciones.

### Paso 3: Sumar todas las soluciones posibles
La cantidad total de números enteros que cumplen con las condiciones es la suma de todas las soluciones obtenidas:

\[
9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 44
\]

Por lo tanto, hay **44 números enteros** entre 240 y 930 tal que la suma de sus dígitos es igual a 10.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

---

1. ¿Cómo se puede generalizar este método para otras sumas de dígitos?
2. ¿Qué pasaría si el rango fuera diferente, por ejemplo, entre 300 y 700?
3. ¿Qué otros métodos existen para resolver este tipo de problemas?
4. ¿Cómo se relaciona este problema con combinatoria?
5. ¿Cómo se podría escribir un programa para calcular esto automáticamente?
6. ¿Qué impacto tendría un rango mayor o menor en el número de soluciones?
7. ¿Cómo se afecta el resultado si se incluyen números con más dígitos?
8. ¿Cómo cambia el problema si se permite una suma de dígitos múltiple de 10?

**Tip:** En problemas de conteo de soluciones que cumplen una suma fija de dígitos, descomponer el problema en casos más pequeños y sumar las soluciones suele ser una estrategia efectiva.

Learn how to count integers between 240 and 930 where the sum of digits equals 10 with a detailed step-by-step solution. This problem covers number theory and combinatorics, focusing on decomposing the problem into manageable cases. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation