Determina un número natural de tres cifras, sabiendo que la suma de sus dígitos es 9, que la diferencia de dicho número con el que se obtiene al intercambiar las cifras de las centenas por el de las unidades es 198, y que si consideramos la suma entre ambos números, es decir, entre el número a determinar y el que se obtiene al intercambiar sus cifras, el resultado es 828

Sea \( N \) el número de tres cifras que queremos determinar. Representamos este número como:

\[
N = 100a + 10b + c
\]

donde:
- \( a \) es la cifra de las centenas,
- \( b \) es la cifra de las decenas,
- \( c \) es la cifra de las unidades.

### Condiciones del problema:

1. **La suma de los dígitos es 9:**

\[
a + b + c = 9
\]

2. **La diferencia entre el número original y el que se obtiene al intercambiar las centenas con las unidades es 198. El número resultante al intercambiar las centenas con las unidades es \( 100c + 10b + a \). Esto nos da la ecuación:**

\[
(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 198
\]

Simplificando la ecuación:

\[
100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 198
\]
\[
99a - 99c = 198
\]
\[
a - c = 2 \quad \text{(Ecuación 2)}
\]

3. **La suma del número original y el que se obtiene al intercambiar las centenas con las unidades es 828:**

\[
(100a + 10b + c) + (100c + 10b + a) = 828
\]

Simplificando la ecuación:

\[
100a + 10b + c + 100c + 10b + a = 828
\]
\[
101a + 20b + 101c = 828
\]
\[
101(a + c) + 20b = 828 \quad \text{(Ecuación 3)}
\]

### Resolviendo el sistema de ecuaciones:

De la **Ecuación 2** sabemos que \( a - c = 2 \), por lo tanto, \( a = c + 2 \).

Sustituimos \( a = c + 2 \) en las ecuaciones restantes.

#### 1. Usamos la ecuación \( a + b + c = 9 \):

\[
(c + 2) + b + c = 9
\]
\[
2c + b + 2 = 9
\]
\[
2c + b = 7 \quad \text{(Ecuación 4)}
\]

#### 2. Usamos la ecuación \( 101(a + c) + 20b = 828 \):

Sustituimos \( a = c + 2 \):

\[
101((c + 2) + c) + 20b = 828
\]
\[
101(2c + 2) + 20b = 828
\]
\[
202c + 202 + 20b = 828
\]
\[
202c + 20b = 626
\]
\[
101c + 10b = 313 \quad \text{(Ecuación 5)}
\]

### Resolviendo el sistema entre las ecuaciones (4) y (5):

De la **Ecuación 4**:

\[
b = 7 - 2c
\]

Sustituimos \( b = 7 - 2c \) en la **Ecuación 5**:

\[
101c + 10(7 - 2c) = 313
\]
\[
101c + 70 - 20c = 313
\]
\[
81c + 70 = 313
\]
\[
81c = 243
\]
\[
c = 3
\]

Sustituimos \( c = 3 \) en \( b = 7 - 2c \):

\[
b = 7 - 2(3) = 1
\]

Finalmente, \( a = c + 2 \):

\[
a = 3 + 2 = 5
\]

### El número buscado es:
\[
\boxed{513}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el valor de cada dígito al número total en esta clase de problemas?
2. ¿Qué otros métodos podrían emplearse para resolver este tipo de problemas de números?
3. ¿Cómo se pueden interpretar las permutaciones de cifras en ecuaciones matemáticas?
4. ¿Qué papel juegan los sistemas de ecuaciones en la resolución de problemas de números con restricciones?
5. ¿Qué sucede si cambian las condiciones sobre la diferencia entre los números permutados?

### Tip:
En problemas con permutaciones de dígitos, es clave representar los números en función de sus dígitos para formular las ecuaciones necesarias.

Determina un número natural de tres cifras, sabiendo que la suma de sus dígitos es 9, que la diferencia de dicho número con el que se obtiene al intercambiar las cifras de las centenas por el de las unidades es 198, y que si consideramos la suma entre ambos números, es decir, entre el número a determinar y el que se obtiene al intercambiar sus cifras, el resultado es 828.

Solve a three-digit number problem where the sum of the digits equals 9, and the difference between the original number and its digit-permuted counterpart is 198. This problem involves algebraic manipulation and solving a system of linear equations, ideal for Grades 9-12.

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