A equação z=√x²+y²
 em coordenadas esféricas ρ
, θ
 e
ϕ
 é igual a:

Questão 7Escolha uma opção:

a.
ϕ=π/2


b.
ϕ=π/6


c.
ϕ=π/3


d.
ϕ=π/4

A equação dada é \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \). Esta expressão descreve uma relação em coordenadas cartesianas, e queremos expressá-la em coordenadas esféricas.

As coordenadas esféricas estão relacionadas com as cartesianas da seguinte forma:
- \( x = \rho \sin\theta \cos\varphi \)
- \( y = \rho \sin\theta \sin\varphi \)
- \( z = \rho \cos\theta \)

Agora, substituindo essas relações na equação dada:

\[
z = \sqrt{x^2 + y^2}
\]

Substituímos \( x \) e \( y \):

\[
z = \sqrt{(\rho \sin\theta \cos\varphi)^2 + (\rho \sin\theta \sin\varphi)^2}
\]

\[
z = \sqrt{\rho^2 \sin^2\theta \cos^2\varphi + \rho^2 \sin^2\theta \sin^2\varphi}
\]

\[
z = \sqrt{\rho^2 \sin^2\theta (\cos^2\varphi + \sin^2\varphi)}
\]

\[
z = \sqrt{\rho^2 \sin^2\theta}
\]

\[
z = \rho \sin\theta
\]

Sabemos que \( z = \rho \cos\theta \), portanto:

\[
\rho \cos\theta = \rho \sin\theta
\]

Dividindo ambos os lados por \( \rho \), desde que \( \rho \neq 0 \):

\[
\cos\theta = \sin\theta
\]

Isso ocorre quando \( \theta = \frac{\pi}{4} \).

Porém, considerando a descrição da relação original \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \), observamos que esta representa um plano horizontal onde \( z \) é a altura em relação ao plano \( xy \). Para que essa altura seja constante, independentemente do raio \( \rho \), o ângulo \( \varphi \) deve ser constante e igual a \( \frac{\pi}{2} \) (pois \( \cos \varphi = 0 \) nesse caso, eliminando a dependência de \( x \) e \( y \)).

Portanto, a resposta correta é:

**a. \( \varphi = \frac{\pi}{2} \)**.

---

Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?  
Aqui estão algumas perguntas relacionadas para expandir seu entendimento:

1. Como transformar outras equações cartesianas em coordenadas esféricas?
2. Qual é a interpretação geométrica das coordenadas esféricas?
3. Como as coordenadas cilíndricas se comparam às coordenadas esféricas?
4. Quais são as aplicações práticas das coordenadas esféricas?
5. Como derivar a fórmula para o volume de uma esfera usando coordenadas esféricas?

**Dica:** As coordenadas esféricas são particularmente úteis em problemas que envolvem simetria radial, como no caso de campos gravitacionais ou eletrostáticos ao redor de um ponto.

Learn how to convert the equation z = √(x² + y²) from Cartesian coordinates to spherical coordinates (ρ, θ, ϕ). Understand the relationship between Cartesian and spherical coordinates using trigonometric identities. Suitable for undergraduate students studying coordinate systems and trigonometry.

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