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Ao rotacionar a figura em torno do eixo y, será gerado um sólido geométrico. Qual é o volume deste sólido? 

Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação de uma figura em torno do eixo \(y\), precisamos entender a função ou as funções que descrevem a borda da figura no plano \(xy\).

Vamos analisar a imagem e entender os limites e a função que descreve a borda da figura para depois aplicar a fórmula de volume de rotação. 

### Método para Calcular o Volume:
O volume de um sólido de revolução em torno do eixo \(y\) pode ser calculado pela seguinte fórmula de integração:

\[
V = \int_{a}^{b} 2\pi x f(x) \, dx,
\]

onde:
- \(f(x)\) é a função que descreve a borda da figura;
- \(x\) é a variável de integração;
- \(a\) e \(b\) são os limites de integração, que correspondem ao intervalo em que a função está definida.

Vou analisar a imagem para identificar as funções e os limites de integração.A imagem contém uma figura composta por diferentes segmentos de funções no plano \(xy\), formando uma forma "degrau" que será rotacionada ao redor do eixo \(y\). Para calcular o volume do sólido gerado por essa rotação, precisamos integrar ao longo de cada segmento.

### Passo a Passo para Determinar o Volume:

1. **Identificação dos Segmentos da Figura:**
   Observando a imagem, temos três segmentos retilíneos que descrevem a borda da figura:
   - De \(y = 0\) a \(y = 2\), a função é \(x = 3\) (linha vertical constante).
   - De \(y = 2\) a \(y = 4\), a função é \(x = 2\) (outra linha vertical constante).
   - De \(y = 4\) a \(y = 6\), a função é \(x = 1\) (mais uma linha vertical constante).

2. **Volume de Rotação ao Redor do Eixo \(y\):**
   Para cada segmento, podemos aplicar a fórmula para o volume de um sólido gerado por rotação ao redor do eixo \(y\):

   \[
   V = \int_{a}^{b} 2\pi x f(x) \, dy.
   \]

   No nosso caso, \(x\) é constante para cada segmento, e \(f(x)\) varia com \(y\).

3. **Cálculo do Volume para Cada Segmento:**

   - **Segmento 1:** de \(y = 0\) a \(y = 2\), \(x = 3\)

   \[
   V_1 = \int_{0}^{2} 2\pi \cdot 3 \, dy = 6\pi \int_{0}^{2} dy = 6\pi [y]_{0}^{2} = 6\pi (2 - 0) = 12\pi.
   \]

   - **Segmento 2:** de \(y = 2\) a \(y = 4\), \(x = 2\)

   \[
   V_2 = \int_{2}^{4} 2\pi \cdot 2 \, dy = 4\pi \int_{2}^{4} dy = 4\pi [y]_{2}^{4} = 4\pi (4 - 2) = 8\pi.
   \]

   - **Segmento 3:** de \(y = 4\) a \(y = 6\), \(x = 1\)

   \[
   V_3 = \int_{4}^{6} 2\pi \cdot 1 \, dy = 2\pi \int_{4}^{6} dy = 2\pi [y]_{4}^{6} = 2\pi (6 - 4) = 4\pi.
   \]

4. **Volume Total do Sólido:**
   
   \[
   V_{\text{total}} = V_1 + V_2 + V_3 = 12\pi + 8\pi + 4\pi = 24\pi.
   \]

### Resposta:
O volume do sólido gerado pela rotação da figura em torno do eixo \(y\) é \(24\pi\) unidades cúbicas.

Se precisar de mais detalhes ou tiver outras perguntas, estou à disposição!

### Perguntas Relacionadas:
1. Como calcular o volume de um sólido de revolução em torno do eixo \(x\)?
2. Quais são outros métodos para calcular volumes de sólidos irregulares?
3. Como calcular a área da superfície de um sólido de revolução?
4. Qual é o impacto da função de borda na forma do sólido gerado pela rotação?
5. Como o método de discos difere do método de anéis para calcular volumes de sólidos de revolução?

### Dica:
Ao trabalhar com sólidos de revolução, certifique-se de escolher o método de integração adequado (discos, anéis, cascas cilíndricas) dependendo da forma e do eixo de rotação.

Learn how to calculate the volume of a solid of revolution formed by rotating a figure around the y-axis. This detailed solution uses integration to find the volume, analyzing specific segments of the figure's boundary. Suitable for advanced high school students and those studying calculus.

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