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Vamos a resolver el ejercicio paso a paso. La expresión es:

\[
\left\{ \left( \frac{2}{5^2} \right)^2 \left[ \frac{6^3}{2^2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{-1} \right]^{-2} \right\}^{-1}
\]

**Paso 1: Resolver las potencias dentro de los paréntesis y corchetes**

1. **Primero resolvamos la potencia \(\left( \frac{2}{5^2} \right)^2\):**
   \[
   \frac{2}{5^2} = \frac{2}{25}
   \]
   Luego, aplicamos la potencia al numerador y denominador:
   \[
   \left( \frac{2}{25} \right)^2 = \frac{2^2}{25^2} = \frac{4}{625}
   \]

2. **Resolver la expresión dentro del corchete \(\left[ \frac{6^3}{2^2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{-1} \right]^{-2}\):**
   - Primero calculamos \(\frac{6^3}{2^2}\):
     \[
     6^3 = 216, \quad 2^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad \frac{6^3}{2^2} = \frac{216}{4} = 54
     \]
   - Luego, resolvemos \(\left( \frac{2}{3} \right)^{-1}\), que es el recíproco de \(\frac{2}{3}\):
     \[
     \left( \frac{2}{3} \right)^{-1} = \frac{3}{2}
     \]
   - Ahora, multiplicamos:
     \[
     54 \cdot \frac{3}{2} = \frac{162}{2} = 81
     \]
   - Finalmente, aplicamos la potencia negativa \(-2\):
     \[
     81^{-2} = \frac{1}{81^2} = \frac{1}{6561}
     \]

**Paso 2: Multiplicar los resultados obtenidos**

Multiplicamos las dos expresiones que obtuvimos:
\[
\frac{4}{625} \cdot \frac{1}{6561} = \frac{4}{4100625}
\]

**Paso 3: Aplicar la potencia final**

La expresión completa es:
\[
\left( \frac{4}{4100625} \right)^{-1} = \frac{4100625}{4} = 1025156.25
\]

**Resultado final:**

\[
\boxed{1025156.25}
\]

¿Te gustaría aclarar algún detalle o tienes otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se simplifican las fracciones en general?
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3. ¿Cómo afectan los exponentes negativos a las fracciones?
4. ¿Qué técnicas se usan para calcular potencias grandes manualmente?
5. ¿Cómo se resuelven expresiones con múltiples niveles de paréntesis?

### Tip:
Es fundamental recordar que al elevar una fracción a una potencia negativa, se invierte la fracción antes de aplicar la potencia.

Learn how to solve complex exponential fractional operations step-by-step. This problem involves calculating powers and inverses of fractions, covering key algebraic concepts. Suitable for high school students.

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