A equação z=√x²+y²
 em coordenadas esféricas ρ
, θ
 e
ϕ
 é igual a:

Questão 7Escolha uma opção:

a.
ϕ=π/2


b.
ϕ=π/6


c.
ϕ=π/3


d.
ϕ=π/4

A equação \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \) em coordenadas cartesianas pode ser convertida para coordenadas esféricas usando as seguintes relações:

- \( x = \rho \sin\theta \cos\varphi \)
- \( y = \rho \sin\theta \sin\varphi \)
- \( z = \rho \cos\theta \)

Substituindo as expressões de \( x \) e \( y \) na equação \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \):

\[
z = \sqrt{(\rho \sin\theta \cos\varphi)^2 + (\rho \sin\theta \sin\varphi)^2}
\]

Simplificando:

\[
z = \sqrt{\rho^2 \sin^2\theta (\cos^2\varphi + \sin^2\varphi)}
\]

Sabemos que \( \cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1 \), então a equação fica:

\[
z = \rho \sin\theta
\]

Como em coordenadas esféricas \( z = \rho \cos\theta \), igualando as duas expressões para \( z \):

\[
\rho \cos\theta = \rho \sin\theta
\]

Dividindo ambos os lados por \( \rho \) (assumindo \( \rho \neq 0 \)):

\[
\cos\theta = \sin\theta
\]

Isso significa que:

\[
\theta = \frac{\pi}{4}
\]

Como \( \theta = \frac{\pi}{4} \) significa que o ângulo \( \varphi \) é \(\frac{\pi}{4}\), a resposta correta é:

**d. \(\varphi = \frac{\pi}{4}\)**

Se precisar de mais detalhes ou tiver alguma dúvida, estou à disposição! 

**Perguntas relacionadas:**

1. O que são coordenadas esféricas e quais as suas principais aplicações?
2. Como transformar equações em coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas?
3. Qual a interpretação geométrica do ângulo \(\varphi\) nas coordenadas esféricas?
4. Como a equação \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\) se relaciona com a equação de um cilindro em coordenadas cartesianas?
5. O que significa quando \(\theta\) ou \(\varphi\) assume valores específicos em coordenadas esféricas?

**Dica:** 
Sempre verifique as relações trigonométricas fundamentais, como \( \sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1 \), ao simplificar expressões em coordenadas polares, cilíndricas ou esféricas.

Understand how to convert the equation z = sqrt(x^2 + y^2) from Cartesian to spherical coordinates (rho, theta, phi). This problem explores the trigonometric relationships involved, suitable for advanced high school students and beyond.

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