5) Un tronco de pirámide con bases paralelas tiene como base mayor
un cuadrado de lado 2 m. Si la altura del tronco es 3 m y su volumen
7 m3
, determina la medida del lado de la base menor.

Para resolver este problema, vamos a usar la fórmula del volumen de un tronco de pirámide con bases paralelas (también conocido como tronco de pirámide truncada). La fórmula del volumen \( V \) de un tronco de pirámide es:

\[
V = \frac{h}{3} \left( A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 \cdot A_2} \right)
\]

donde:

- \( h \) es la altura del tronco de pirámide.
- \( A_1 \) es el área de la base mayor.
- \( A_2 \) es el área de la base menor.

Dado que la base mayor es un cuadrado de lado 2 m, su área \( A_1 \) es:

\[
A_1 = 2 \times 2 = 4 \, \text{m}^2
\]

La altura del tronco de pirámide es \( h = 3 \, \text{m} \) y el volumen es \( V = 7 \, \text{m}^3 \).

Necesitamos encontrar el lado de la base menor, \( x \). El área de la base menor será \( A_2 = x^2 \).

Sustituyendo los valores en la fórmula del volumen:

\[
7 = \frac{3}{3} \left( 4 + x^2 + \sqrt{4 \cdot x^2} \right)
\]

Simplificamos:

\[
7 = 4 + x^2 + \sqrt{4x^2}
\]

\[
7 = 4 + x^2 + 2x
\]

Reorganizamos la ecuación para formar una ecuación cuadrática:

\[
x^2 + 2x - 3 = 0
\]

Ahora, resolvemos esta ecuación cuadrática usando la fórmula general:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

donde \( a = 1 \), \( b = 2 \), y \( c = -3 \):

\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}
\]

\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}
\]

\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2}
\]

\[
x = \frac{-2 \pm 4}{2}
\]

Esto da dos soluciones:

\[
x = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \quad \text{(válida, ya que el lado no puede ser negativo)}
\]

\[
x = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \quad \text{(no válida, porque no tiene sentido físico en este contexto)}
\]

Por lo tanto, la medida del lado de la base menor es \( \boxed{1 \, \text{m}} \).

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Aquí tienes algunas preguntas relacionadas que podrían interesarte:

1. ¿Cómo se calcula el área de otras figuras geométricas que podrían ser bases de un tronco de pirámide?
2. ¿Cuál es la diferencia en la fórmula del volumen entre un tronco de pirámide y un tronco de cono?
3. ¿Qué sucede con la fórmula si las bases no son paralelas?
4. ¿Cómo influye la forma de la base en el cálculo del volumen de un tronco de pirámide?
5. ¿Qué otros problemas pueden resolverse usando fórmulas de volumen de sólidos truncados?

**Tip:** Siempre verifica las dimensiones y unidades en problemas de geometría para asegurarte de que los cálculos sean consistentes y correctos.

Un tronco de pirámide con bases paralelas tiene como base mayor un cuadrado de lado 2 m. Si la altura del tronco es 3 m y su volumen es 7 m3, determina la medida del lado de la base menor.

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