Un triángulo equilátero de 4 dm2 de superficie tiene el
mismo perímetro que un hexágono regular ¿Cuál es la
superficie del hexágono?

Para resolver este problema, seguiremos los siguientes pasos:

### 1. **Determinar el lado del triángulo equilátero:**
La superficie \( A \) de un triángulo equilátero se puede calcular con la fórmula:

\[
A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2
\]

donde \( a \) es el lado del triángulo. Sabemos que la superficie es \( 4 \, \text{dm}^2 \), por lo que:

\[
4 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2
\]

Despejamos \( a^2 \):

\[
a^2 = \frac{4 \times 4}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}
\]

Por lo tanto, \( a \) es:

\[
a = \sqrt{\frac{16}{\sqrt{3}}} = \frac{4}{\sqrt[4]{3}}
\]

### 2. **Calcular el perímetro del triángulo equilátero:**

El perímetro del triángulo es:

\[
P_{\text{triángulo}} = 3a = 3 \times \frac{4}{\sqrt[4]{3}} = \frac{12}{\sqrt[4]{3}}
\]

### 3. **Relacionar el perímetro con el hexágono regular:**

El perímetro de un hexágono regular es \( P_{\text{hexágono}} = 6b \), donde \( b \) es el lado del hexágono. Sabemos que:

\[
6b = \frac{12}{\sqrt[4]{3}}
\]

Despejamos \( b \):

\[
b = \frac{2}{\sqrt[4]{3}}
\]

### 4. **Calcular la superficie del hexágono:**

La superficie \( A_{\text{hexágono}} \) de un hexágono regular se puede calcular con la fórmula:

\[
A_{\text{hexágono}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times b^2
\]

Sustituyendo el valor de \( b \):

\[
A_{\text{hexágono}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \left(\frac{2}{\sqrt[4]{3}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \frac{4}{\sqrt{3}} = 3 \, \text{dm}^2
\]

### Respuesta:
La superficie del hexágono es de **3 dm²**.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta sobre los cálculos?  
Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta el lado del hexágono regular al cálculo de su superficie?
2. ¿Qué sucede con el perímetro si se duplicara la superficie del triángulo equilátero?
3. ¿Cómo se deriva la fórmula de la superficie de un triángulo equilátero?
4. ¿Qué otros polígonos regulares tienen relaciones interesantes con triángulos equiláteros?
5. ¿Qué propiedades del triángulo equilátero facilitan estos cálculos?

**Tip:** Recuerda que el triángulo equilátero y el hexágono regular comparten simetrías interesantes, como el hecho de que ambos pueden inscribirse en un círculo con relaciones específicas de lados.

Aprende a calcular la superficie de un hexágono regular a partir del perímetro de un triángulo equilátero dado. Este problema cubre conceptos clave de geometría, incluyendo las fórmulas para el área de un triángulo equilátero y un hexágono regular. Adecuado para estudiantes de secundaria (Grados 7-9).

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